POJ 3329 TSP变形 / floyd预处理+状压DP

TSP（旅行商问题）：n个点的图，从原点出发，每个点都走且仅走一次，最后回到原点，求最小花费的路径。

动态规划解TSP，要求点的数目一定要小于16。用一个16位的二进制数，每一位1表示走了，0表示没走。16位0、1的所有排列便可以穷尽16个点的所有路径。

由于POJ3329这题没要求每个点只能走一次，所以要先用floyd处理出两个点的最短路径（这样可能会造成有些点走多次）。

dp的思想和实现方法其实与floyd算法非常接近：

dp[i][j]表示 状态为i、终点为j 时的最小代价。

转移方程是 dp[i][j]=min( dp[i][j] , dp[s][k]+dist[k][j]）s为i去掉点j后的状态；实际上就是用k点来过渡j点，假设 p是j的前一个点，如果存在p到k、k再到j的总代价比p直接到j的代价小，dp[i][j]就更新为后者。是不是和floyd非常像呢。

知道了这个dp的初始化应该也就明了了，如果一个点i与起点有可达的路径，就应该初始化dp[s][i]=dist[1][i]，s为起点直接到i的状态；其余的都为INF。即要对dp[i][j]中当i的状态仅且只有起点和j点的情况赋初值。

网上大部分图中点的编号代码都是从0开始，但却没有解释或者解释不对。从0开始的好处是，因为题目说了，起点是必须要选的；所以可以不用考虑000001这样的情况，直接让0000000也算起点被选了。比如，从第一个点直接到第4个点的状态就是1000，而不用1001；这样做在接下来的操作中可以让代码更好写一点。但是我一开始就是让编号从1开始，也不愿改成1；所以这里还是从1开始。

对于必须要走m个点，也很简单。每次must+=1<<(i-1)，i为点编号。m个点化为一串二进制中相应位置上的；比如规定编号1，2，3必须经过；最后must二进制形式就是 1 1 1；将枚举的状态i和must逐位&，如果结果还等于must，就说明i状态的1包含了must，即为可行状态。

一些位运算不再解释，看不懂的可以看我上篇博客

【代码】

/* ***********************************************Author        :angon************************************************ */#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <stack>#include <vector>#include <queue>#include <set>#include <map>#include <string>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>using namespace std;#define REP(i,k,n) for(int i=k;i<n;i++)#define REPP(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)#define scan(d) scanf("%d",&d)#define scann(n,m) scanf("%d%d",&n,&m)#define mst(a,k)  memset(a,k,sizeof(a));#define LL long long#define maxn 1005#define mod 100000007/*inline int read(){    int s=0;    char ch=getchar();    for(; ch<'0'||ch>'9'; ch=getchar());    for(; ch>='0'&&ch<='9'; ch=getchar())s=s*10+ch-'0';    return s;}inline void print(int x){    if(!x)return;    print(x/10);    putchar(x%10+'0');}*/#define N 16int a[N],m,n,d;double mp[N][N],dist[N][N],dp[1<<N][N];int ct(int x) //计算x中二进制状态1的个数，原理可看我上篇博客{    int cnt=0;    while(x)    {        cnt++;        x&=(x-1);    }    return cnt;}void floyd(){    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            dist[i][j]=dist[j][i]=mp[i][j];    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=n;j++)        {            for(int k=1;k<=n;k++)            {                if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])                    dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];            }        }    }}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    int x,y,len,kind;    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&d) && (n||m||d))    {        double t=d*12;        int must=0;        for(int i=1;i<=m;i++)        {            scan(x);            must+= 1<<(x-1);        }        for(int i=1;i<=n;i++)            scan(a[i]);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=1;j<=n;j++)                mp[i][j]=1000;            for(int j=1;j<=(1<<n);j++)                dp[j][i]=1000;            mp[i][i]=0;        }        while(scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&len,&kind) &&(x||y||len||kind))        {            double h=kind?(len/120.0):(len/80.0);            if(mp[x][y]>h)   //x,y之间可能既有bus又有火车                mp[x][y]=mp[y][x]=h;        }        floyd();        dp[1][1]=a[1];        for(int i=2;i<=n;i++) dp[0][i]=dp[(1<<(i-1))][i]=dist[1][i]+a[i];        //dp[0][i]也记录起点到i点的代价，之所以加这一句是为了处理下面dp的边界        int ans=0;        for(int i=1;i<=(1<<n);i++)        {            for(int j=1;j<=n;j++)            {                if(i&(1<<(j-1))) //&& i^(1<<(j-1)))  //加这句可以不用初始化dp[0][i]，因为直接排序了i去点j点后变成0的可能                {                    for(int k=1;k<=n;k++)                    {                        if(i&(1<<(k-1)))                            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^(1<<(j-1))][k]+dist[k][j]+a[j]);                    }                }                //if((i&must)==must&& dp[i][j]+dist[j][1]<=t)                   // ans=max(ans,ct(i));  //这句和下面都可以ac            }            if((i&must)==must&&dp[i][1]<=t)                ans=max(ans,ct(i));        }        if(ans)            printf("%d\n",ans);        else            printf("No Solution\n");    }    return 0;}