能量采集[NOI2010][Codevs1937]

题目描述 Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有 n 列，每列有 m 棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标 (x,y) 来表示，其中 x 的范围是 1 至 n ，表示是在第 x 列， y 的范围是 1 至 m ，表示是在第 x 列的第 y 棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是 (0,0) 。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有 k 棵植物，则能量的损失为 2k+1 。例如，当能量汇集机器收集坐标为 (2,4) 的植物时，由于连接线段上存在一棵植物 (1,2) ，会产生 3 的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为 1 。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中 n=5，m=4 ，一共有 20 棵植物，总共产生了 36 的能量损失。

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输入描述 Input Description

一行，为两个整数 n 和 m 。

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输出描述 Output Description

仅一个整数，表示总共产生的能量损失。

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样例输入 Sample Input

【样例输入1】
5 4

【样例输入2】
3 4

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样例输出 Sample Output

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

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数据范围及提示 Data Size & Hint

对于 10% 的数据： 1≤n,m≤10 ；

对于 50% 的数据： 1≤n,m≤100 ；

对于 80% 的数据： 1≤n,m≤1000 ；

对于 90% 的数据： 1≤n,m≤10,000 ；

对于 100% 的数据： 1≤n,m≤100,000 。

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分析

对于坐标为 (x,y) 的整数，与能量汇集机器连接而成的线段上有 gcd(x,y)−1 棵植物

数据不大，暴力求出每一对 (x,y) 的 gcd,80 分妥妥的

因为 min(n,m)<=100000 ，所以对于任意的 (x,y) 都有 gcd(x,y)<=100000 ，所以可以枚举 gcd ，因为公因数为 d 的所有 (x,y) 有 [nd]∗[md] 对，令 fd=[nd]∗[md] 所以最大公因数为 d 的有 fd−∑[min(n,m)d]i=2fi∗d ( d 从大到小枚举 )

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代码

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;LL ans;LL f[100001];int n,m;int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    if(n > m)        swap(n,m);    for(int i=1;i<=n;++i)        f[i] = LL(n/i)*LL(m/i);    for(int i=n;i>=1;--i){        for(int j=(i<<1);j<=n;j+=i)            f[i] -= f[j];        ans += ((i-1)*2+1)*f[i];    }    printf("%lld",ans);    return 0;}