算法导论 9.1-1 求第二小元素 （这篇文章写的很好转来学习）

原文链接：http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng

一、题目

证明：在最坏情况下，利用n+ceil(lgn)-2次比较，即可得到n个元素中的第2小元素。（提示：同时找最小元素）

二、算法过程

step1：对所有元素，两个一组比较大小，小的一个进入下一轮比较。一直到比较出最小的元素。此时所有比较结果构成一棵二叉树。比较次数为n-1。

step2：沿着树从树根向下到叶子，找出第二小的元素，比较次数是ceil[lgn]-1。令m2[p]表示以p为根的树中的第二小元素。对于当前处理结点为p，key[p] = min{key[left[p]], key[right[p]]}。假设key[p] =  key[left[p]]，则m2[p] = min{m2[left[p]], key[right[p]]}

三、思考过程

1.根据提示，需要同时找最小元素，找最小元素的比较次数至少为n-1

2.在找次小元素时，尽量使用step1所产生的附加信息

3.次小值一定是在step1中与最小元素直接比较的过程中被淘汰的那些数

4.若“step1中与最小元素直接比较的过程中被淘汰的数”的个数为m，找次小值的比较次数为m-1

5.常规方法中，最坏情况下，m = n-1

6.调整算法，使最坏情况下m = ceil[lgn]

7.最终算法比较次数 = (n-1) + (m-1) = n + ceil[lgn] - 2

四、详细证明

1.找最小元素的比较次数至少为n-1

把每个元素看作是一个集合，这个集合有一个特殊的属性，即集合内的最小值。

初始状态下，每个元素是一个值，集合的最小值就是这个元素的值。

两个元素比较的过程，可以看作是两个元素分别所在的集合的merge过程，同时更新的集合的最小值属性。

最后剩下一个集合时该集合的最小值就是整个数组的最小值。

一定是两个在不同集合的元素之间才会发生比较，处于同一集合的元素是不需要比较的。

n个集合至少要经过n-1次merge才能成为一个集合。

2.次小值一定是在step1中与最小元素直接比较的过程中被淘汰的那些数

参与比较的值，一定是集合中最小的值。

没有参与比较的值，有两种情况：

（1）若这个集合的最小值不是整个数组的最小值

那么这个值一定不是次小值，因此不用考虑

（2）若这个集合的最小值是整个数组的最小值，za

那么这个值有可能是次小值，但它也一定是在更早的某个比较过程中合并进来的，因此继续向前追溯。

3.常规方法中，最坏情况下，m = n-1

这个的常规方法是指

[cpp] view plain copy

1. int min = data[0];  
2. for(int i = 1; i < data.size(); i++)  
3. {  
4.     if(data[i] < min)  
5.         min = data[i];  
6. }  
7. return min  

用如图来表示这种算法产生最小值的比较过程。

4.调整算法，使最坏情况下m = ceil[lgn]

把上图转换为这样，可知m与叶子结点的深度有关，最坏情况下的m就是树的叶子结点的最大深度，也就是二叉树的高度。

把二叉树调整为完全二叉树，树的高度就是ceil[lgn]了

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五、代码说明

1.虽然推导过程使用了二叉树，但是在实际算法实现过程中使用的是数组（有点类似第六章堆的实现），以简化算法。

用数组的下标代替结点的地址，用数组下标的索引代替指针。

2.指针nextTarget：每一次比较后，有可能是最小元素的侯选值链表，以数组元素0为head，通过nextTarget串联起来

指针nextSecond：假设数组元素a是最小元素，记录每次与a直接比较过的元素，也就是a对应的次小值候选者链表，以a为head，通过nextSecond串联起来

3.比较过程做了封装，用于统计比较次数。

4.初始情况下，每个元素都在nextTarget链表中，每比较一次，nextTarget链接中少一个元素。

当nextTarget链表中只剩下一个元素时，选择以这个元素为head的nextSecond链表中的最大值，就是整个数组的次小值。

5.假设数据有个5元素，依次为1，2，3，4，5，主要过程如图：

实心箭头表示nextTarget

空心箭头表示nextSecond