算法系列（八）数据结构之二叉查找树

在算法系列（七）数据结构之树的基本结构和二叉树的遍历 中介绍了基本的树结构，二叉树的实现和遍历。

这篇文章重点学习一下二叉查找树。

概述

二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树（Binary Search Tree）二叉搜索树。
二叉查找树（BST）是二叉树的一个重要的应用，它在二叉树的基础上加上了这样的一个性质：对于树中的每一个节点来说，如果有左儿子的话，它的左儿子的值一定小于它本身的值，如果有右儿子的话，它的右儿子的值一定大于它本身的值。二叉查找树的操作一般有插入、删除和查找，这几个操作的平均时间复杂度都为O(logn)，插入和查找操作很简单，删除操作会复杂一点。

由于树的递归定义，通常用递归实现一些操作，二叉查找树平均深度是O(logN),不必担心栈溢出。

定义

二叉查找树是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉查找树；
（4）没有键值相等的结点。

代码实现基础

继承了上一篇文章中的树结构，增加了比较器。必须有明确的节点比较方法，否则无法进行基本操作。

package com.algorithm.tree;import java.util.Comparator;/** * 左子树小于右子树的二叉查找树 *  * @author chao * * @param <T> */public class BinarySeachTree<T> extends BinaryTree<T> {private Comparator<T> comparator;public BinarySeachTree(BinarySeachTree.BinaryTreeNode<T> root) {this(root, null);}public BinarySeachTree(BinarySeachTree.BinaryTreeNode<T> root, Comparator<T> comparator) {super(root);this.comparator = comparator;}private int compare(BinarySeachTree.BinaryTreeNode<T> a, BinarySeachTree.BinaryTreeNode<T> b) {if (comparator != null) {return comparator.compare(a.element, b.element);} else if (a.element instanceof Comparable && b.element instanceof Comparable) {return ((Comparable) a.element).compareTo(b.element);} else {throw new RuntimeException("can't compare " + a.element.getClass());}}}

插入操作

步骤：将X节点插入到树T中，当前比较节点为cur,插入节点为x,r。默认从根节点为初始节点开始比较，cur初始值为root,如果根节点为空，将x直接作为根节点。否则比较cur与x的大小，如果x比cur大，说明x在cur的右子树上，以cur.right为初始节点，继续做相同的操作。如果cur比x大，说明x在cur的左子树上，以cur.left为初始节点，继续做相同操作。

代码实现

/** * 从根节点插入一个新数据 *  * @param x * @return */public BinaryTreeNode<T> insert(BinaryTreeNode<T> x) {return insert(root, x);}/** * 从某一个节点插入新数据 *  * @param cur * @param x * @return */protected BinaryTreeNode<T> insert(BinaryTreeNode<T> cur, BinaryTreeNode<T> x) {if (cur == null) {return x;}int compareresult = compare(cur, x);if (compareresult < 0) {cur.right = insert(cur.right, x);} else if (compareresult > 0) {cur.left = insert(cur.left, x);}return cur;}

查找最大值与最小值

根据定义可以知道，最小值位于最左侧的叶子节点。最大值位于最右侧的叶子节点。

代码实现

/** * 查找最小节点 *  * @return */public BinaryTreeNode<T> findMin() {return findMin(root);}/** * 以node为根节点的最小节点 *  * @param node * @return */public BinaryTreeNode<T> findMin(BinaryTreeNode<T> node) {if (node == null) {return null;} else if (node.left == null) {return node;}return findMin(node.left);}/** * 查找最大节点 *  * @return */public BinaryTreeNode<T> findMax() {return findMax(root);}/** * 以node为根节点的最大节点 *  * @param node * @return */public BinaryTreeNode<T> findMax(BinaryTreeNode<T> node) {if (node == null) {return null;} else if (node.right == null) {return node;}return findMax(node.right);}

查找是否包含一个节点的操作

有点二分查找的意思。只是二分查找是线性的，查找树的查找是树形结构上的查找。

代码实现：

/** * 判断是否包含x *  * @param x * @return */public boolean contains(BinaryTreeNode<T> x) {return contains(root, x);}/** * 以某个节点为根节点判断是否包含x *  * @param cur * @param x * @return */public boolean contains(BinaryTreeNode<T> cur, BinaryTreeNode<T> x) {if (x == null || cur == null) {return false;}int compareresult = compare(cur, x);if (compareresult == 0) {return true;} else if (compareresult < 0) {return contains(cur.right, x);} else {return contains(cur.left, x);}}

删除操作

删除操作需要分情况讨论：

如果是叶子节点，可以直接删除。

如果只有一个孩子的话，就让它的父亲指向它的儿子，然后删除这个节点。

如果有两个孩子的话，一般的删除策略是用右子树最小的数据代替该节点的数据，递归删除那个节点。

代码实现

/** * 删除节点x *  * @param x * @return */public BinaryTreeNode<T> remove(BinaryTreeNode<T> x) {return remove(root, x);}/** * 删除子树中的节点x *  * @param cur * @param x * @return */public BinaryTreeNode<T> remove(BinaryTreeNode<T> cur, BinaryTreeNode<T> x) {if (cur == null || x == null) {return cur;}int compareresult = compare(cur, x);if (compareresult > 0) {cur.left = remove(cur.left, x);} else if (compareresult < 0) {cur.right = remove(cur.right, x);} else if (cur.left != null && cur.right != null) {BinaryTreeNode<T> minnode = findMin(cur.right);cur.right = remove(cur.right, minnode);cur.element = minnode.element;minnode = null;} else {cur = (cur.left == null) ? cur.right : cur.left;}return cur;}

删除的过程比较复杂，如果删除次数不多，通常使用的策略是惰性删除，即对删除的节点进行标记。特别是有重复项时非常有用，删除只是项的频率减1。暂时不做

代码实现可以看github，地址https://github.com/robertjc/simplealgorithm

github代码也在不断完善中，有些地方可能有问题，还请多指教

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