（06-09补）Uva 10755 Garbage 废料堆

分析：

1、最大子段和问题

     问题定义：对于给定序列a1,a2,a3……an,寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。

     (1)枚举法求解

     枚举法思路如下：

     以a[0]开始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n个

     以a[1]开始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1个

     ……

     以a[n]开始:{a[n]}共1个

     一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以得到以下算法：
    

动态规划算法求解

    算法思路如下：

    记，则所求的最大子段和为：

    由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：

     b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。

     具体代码如下：

// 最大子段和问题的动态规划算法#include <iostream> using namespace std; int MaxSum(int n,int *a);int main(){int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};for(int i=0; i<6; i++){cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;return 0;}int MaxSum(int n,int *a){int sum=0,b=0;for(int i=1; i<=n; i++){if(b>0){b+=a[i];}else{b=a[i];}if(b>sum){sum = b;}}return sum;}

2、最大子矩阵和问题
        (1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，使其各元素之和为最大。

     (2)问题分析：

      用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：

      最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，，设，则

容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:

// 最大子矩阵之和问题#include <iostream> using namespace std; const int M=4;const int N=3;int MaxSum(int n,int *a);int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);int main(){int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}};for(int i=0; i<M; i++){for(int j=0; j<N; j++){cout<<a[i][j]<<" ";}cout<<endl;}cout<<endl;cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;return 0;}int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]){int sum = 0;int *b = new int[n+1];for(int i=0; i<m; i++){ //枚举行for(int k=0; k<n;k++){b[k]=0;}for(int j=i;j<m;j++){//枚举初始行,结束行jfor(int k=0; k<n; k++){b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和int max = MaxSum(n,b);if(max>sum){sum = max;}}}}return sum;}int MaxSum(int n,int *a){int sum=0,b=0;for(int i=1; i<=n; i++){if(b>0){b+=a[i];}else{b=a[i];}if(b>sum){sum = b;}}return sum;}

3、废料堆（最大子长方体和）三维，类似于最大子序列降维动态规划成一维，之后使用最大子段和

分析：先降成二维再降成一维之后最大子段和DP解决

#include <cstdio>#include <cstring>#include <climits>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 20 + 5;int A, B, C;typedef long long LL;LL heap[maxn][maxn][maxn];LL maxV(LL tmp[maxn], int n){      LL ans = LONG_MIN, sum = 0;    for (int i = 0; i<n; i++){        if (sum <= 0)            sum = tmp[i];        else            sum += tmp[i];        if (ans < sum) ans = sum;    }    return ans;}int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while (T--){        scanf("%d %d %d", &A, &B, &C);        for (int i = 0; i<A; i++)            for (int j = 0; j<B; j++)                for (int k = 0; k<C; k++)                    scanf("%lld", &heap[i][j][k]);        LL t1[maxn][maxn], t2[maxn];        LL ans = LONG_MIN;        for (int i = 0; i<A; i++){            memset(t1, 0, sizeof(t1));            for (int k = i; k<A; k++){                for (int l = 0; l<B; l++)                    for (int m = 0; m<C; m++){   //降成二维                        t1[l][m] += heap[k][l][m];                    }                for (int p = 0; p<B; p++){                    memset(t2, 0, sizeof(t2));                    for (int l = p; l<B; l++){                        for (int m = 0; m<C; m++){  //降成一维                            t2[m] += t1[l][m];                        }                        LL _max = maxV(t2, C);                        if (ans < _max) ans = _max;                    }                }            }        }        printf("%lld\n", ans);        if (T) printf("\n");    }    return 0;}