【GDOI2014模拟】服务器

前言

直到比赛最后几分钟，才发现60%数据居然是一个水dp，结果没打完。

题目

我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。
首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。

分析

60%的数据

水dp，设f[i]表示直接复制文件给i，把文件复制到i~n中的所有服务器最小的花费。
显然，转移为f[i]=c[i]+min(f[j]+(1+j−(i+1))∗(j−(i+1))/2).

100%的数据

现在就要想办法给dp加斜率优化了。
有两个位置j和k(j!=k并且i<j、k)，要使选j比k优，
那么

f[j]+(1+j−(i+1))∗(j−(i+1))2<f[k]+(1+k−(k+1))∗(j−(k+1))2

移项得

f[j]−f[k]+(j2−k2+k−j)/2j−k<i

接着就可以打斜率优化dp了。

#include <cmath>#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>#include <queue>const long long maxlongint=214748364700;using namespace std;long long f[200000],n,m,c[200000],d[200000];long long sum(long x,long y){    return y*(y-x)-(y-x)*(x+y-1)/2;}double slope(long long x,long long y){    return (f[x]-f[y]+(x*x-y*y+y-x)/2)*1.0/(x-y);}int main(){    scanf("%lld",&n);    for(long long i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%lld",&c[i]);    }    f[n]=c[n];    long long l,r;    d[l=r=1]=n;    for(long long i=n-1;i>=1;i--)    {        while(l<r && slope(d[l],d[l+1])>=i) l++;        f[i]=c[i]+f[d[l]]+sum(i+1,d[l]);        while(l<r && slope(d[r-1],d[r])<slope(d[r],i)) r--;        d[++r]=i;    }    long long ans=maxlongint;    for(long long i=1;i<=n;i++)        ans=min(ans,f[i]+sum(1,i));    printf("%lld",ans);}