栅栏染色

来源：互联网发布：淘宝收藏转移编辑：程序博客网时间：2024/05/11 11:04

题目描述：我们有一个栅栏，它有n个柱子，现在要给柱子染色，有k种颜色可以染。必须保证最多只有两个相邻的柱子颜色相同，求有多少种染色方案。

样例：n = 3, k = 2, return 6

post 1, post 2, post 3

way1 0 0 1

way2 0 1 0

way3 0 1 1

way4 1 0 0

way5 1 0 1

way6 1 1 0

我把题目稍微改了一下，这才是这道题要表达的意思，lintcode网站上题目的描述是错误的。

想一想，最多只能有两个相邻的柱子颜色相同，那也就是说，任何一个柱子的颜色，都是与他上一个柱子以及上上个柱子的颜色是有关系的。如果他和上一个柱子颜色相同，那么就必须和上上个柱子颜色不同，如果和上一个柱子颜色不同，那么当前柱子的颜色与上上个柱子就没什么关系了。

以上是基本逻辑，既然与之前的结论有关，那么可以考虑用动态规划。先看状态转移方程：

我们用一个表格record记录染色到第i个柱子时，所有染色的方案种数，显然，record[0]表示对第一个柱子的染色方案，一共有k种；record[1]表示对前2个柱子的染色方案，record[1] = k * k，因为可以有两个相邻柱子颜色相同嘛。染色到第3个柱子时，情况就有点意思了：

1. 如果第3个柱子的颜色跟第2个一样，那么他必须跟第一个柱子不一样，所以，前3个柱子的染色方案有k * (k - 1)种

2. 如果第3个柱子的颜色跟第2个不一样，那么他跟第一个柱子没关系了，所以，前3个柱子的染色方案有k * k * (k - 1)种

写出状态转移方程：record[i] = record[i - 2] * (k - 1) + record[i -1] * (k - 1)

再看初始值，就是我们刚才分析的record[0] = k; record[1] = k * k

给出代码：

class Solution:    # @param {int} n non-negative integer, n posts    # @param {int} k non-negative integer, k colors    # @return {int} an integer, the total number of ways    def numWays(self, n, k):        if n == 0 or k == 0:            return 0        record = [k, k * k]        index = 2        while index < n:            record.append(record[-1] * (k - 1) + record[-2] * (k - 1))            index += 1        return record[n - 1]        # Write your code here

可以再把上面的代码的空间效率优化一下，用只有两个元素的数组循环：

class Solution:    # @param {int} n non-negative integer, n posts    # @param {int} k non-negative integer, k colors    # @return {int} an integer, the total number of ways    def numWays(self, n, k):        if n == 0 or k == 0:            return 0        record = [k, k * k]        if n == 1:            return record[0]        else:            index = 2            while index < n:                temp = record[-1] * (k - 1) + record[-2] * (k - 1)                record[0] = record[1]                record[1] = temp                 index += 1        return record[1]        # Write your code here

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