欧几里得距离转换（EDT）算法

0 前言 

欧几里得距离转换(Euclidean Distance Transform, EDT)简单的说即是以最常用的欧几里得距离作为

距离度量，找到每一个前景点到最近的背景点之间的距离。文中提及所有的算法中，均是将二维图片

转为两个一维向量的方式进行。

一些基本定义：

背景点为0，黑色，为感兴趣点，Voronioi elements，sites；

前景点为1：白色；

VR:某一背景点的VR指的前景点集合，这些前景点到此背景点的距离比到其他背景点距离都要短。

VS：某一前景点的VS指的是背景点的集合，这些背景点到此前景点距离比到其他前景点距离都要短。

1. Saito的算法：

step1：1-D Transformation

上到下，计算每一行中前景点到本行背景点距离最近的平方，得到中间结果G；

如下图，（a）为原图（b）为同一行的距离平方图，即G，公式如下：

step2：2-D Transformation

从左到右，对每一列，对中间结果G进行操作，计算本列背景点与本行背景点距离平方和的最小值，得到距离图（Distance Map）H；

如下图（4即使最近距离的平方）。

2. Maurer的算法对Saito改进：

第一步中的1-D Transformaion是一样的。只不过由先行后列改为先列后行。

第二步的改进基于一个事实：

对于每一列来说，并不是所有的sites（背景）都对Distance Map起到关键作用，而仅仅取决于与这一行有交集的VR，这里用到VR的概念。

先列后行，在经过列的1-DT后，找到与当前行有交集的VD，这些对Distance Map有作用，其他的删除。并只保留最近的VR。

如图，这样与step2相比，每一行需要计算的前景点数量由图（a）变为最终的图（c）

判断哪个VR与这一行R有交集的标准如下两条（相关VR的选取）：

1. 在每一列的背景点（sites）中，只保留这一列与R最近的sites，如上图（a）到（b）的变化；

2. 在第一步保留的点中，有三点u、v、w按照横坐标由小到大排列，即：。

    是在R与u和v垂直平分线的交点，同理，如下图所示。如果，即在的右

    侧，则删除v，参照上图（b）到（c）的变化。

保留下的背景点可以按照从左至右的顺序排列保存。算法复杂度为：。

3. Felzenszwalb算法[3]

该算法可以在线性的时耗进行，推荐。

表示p点EDT的计算，此处已转换为一维空间，对于一行n个点，计算p

的EDT公式如下：

q也是此列中的一点，f(q)可以看做是q点的消耗函数（对于二维图像，可以认为是

上面所述的1-D Transformation）。是一个以( q, f(q) )为最小值的抛物线。对

于n个q点，即有n个以( q, f(q) )为最小值的抛物线，如下图。

因此，对于属于[0, n-1]的p来说，其EDT就是这些抛物线的下包络(lower envelope)。

算法的步骤就是首先计算这些抛物线的下包络，然后根据下包络得到没一点p的EDT。

这个算法最重要的步骤就是下包络的计算。

在此,有一个事实是：图中任意两个抛物线有且仅有一个交点(intersect point)。这个

交点在一维坐标轴的投影位置s计算如下式：

其中，r，q为两个抛物线的凹点。可以看到若q<r,在交点的左侧，q所属抛物线低于r的，在交点右侧反之。

这里，用两个数组来从左至右顺序的得到下包络。

下包络中，第i个抛物线的水平位置（凹点）保存在数组v[i]；下包络中第i个个抛物线的范围保存在z[i]和z[i+1]（每个z[i]保存的是交点），k表

示下包络中包含的抛物线个数。

现有一新的抛物线，与v中最右侧的抛物线k比，只有两种可能，交点s在z[k]左边或z[k]右面，如下图所示。

若：

1：新抛物线q与队列中最后一个抛物线v[k]的交点s在z[k]右侧，则下包络添加q为最后一个抛物线，k=k+1，

      z[k]指向s，v[k]指向q的凹点。如图(a)。

2：s在z[k]左侧，则v[k]不再属于下包络，更新z[k]为s，v[k]为q的凹点，如图(b)。

其排列好后每一点对应下包络的y值极为EDT，算法伪代码如下所示。

参考文献：

[1] Fabbri R, Costa L D F, Torelli J C, et al. 2D Euclidean distance transform algorithms: A comparative survey[J]. ACM Computing Surveys (CSUR), 2008, 40(1): 2.

[2] Meijster A, Roerdink J B T M, Hesselink W H. A general algorithm for computing distance transforms in linear time[M]//Mathematical Morphology and its             applications to image and signal processing. Springer US, 2000: 331-340.

[3] Felzenszwalb P F, Huttenlocher D P. Distance Transforms of Sampled Functions[J]. Theory of computing, 2012, 8(1): 415-428.