欧几里得空间与距离

这是我们在念书期间经常听到的两个名词，但我这个不长进的一直就是对一些比较基本的概念视而不见的人，所以最近在看到Brouwer fixed point theorem时，彻底被定理的适用范围解释中的A more general form is for continuous functions from a convex compact subset K of Euclidean space to itself给弄蒙了，Euclidean space(即欧几里得空间)到底是个什么东东呢。看词猜意，首先这肯定是欧几里得发现的一个理论，经过对欧几里得如滔滔江水般敬仰的搜索，终于知道这老先生是古希腊的一名数学家，他率先引入了角和距离的概念来解释平面几何，后来又引入到立体几何，使人们研究平面几何和立体几何甚至高维的几何有了手段和工具。所以直角坐标系下的平面几何和立体几何当然还有后来的符合一定要求的高维的空间都被称为欧几里得空间。

但人类平时说的自然语言是很难阐述数学的，这个欧几里得空间也必须通过严谨的数学语言才能得以说明白。为了精确说明距离，角的概念，数学家引入了内积的概念，只要引入这个内积，角和距离就都有了。

内积的定义其实很简单，说白了就是一个函数映射，是α,β两个点(或说向量)到一个实数的映射，就是f(α,β)=r。α和β都是一个空间中两个点，也可以说是两个向量。当然这个函数映射不是乱映射的，它必须满足一定的规则才叫内积。规则就是几乎所有数学书上都会列出的同一个版本的金刚四部曲：

                (1)(α,β)=(β,α);

                (2)k(α,β)=(kα,β);

                (3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ);

                (4)(α,α)>=0,若有(α,α)=0,当且仅当α=0;

也就是说先确定一个n维空间Rⁿ，然后寻找一个满足金刚四部曲的函数，找到以后，就可以和这个向量空间Rⁿ打包一起成为欧几里得空间了。

其中

                (α,β)=α₁β₁+α₂β₂+.....+α_nβ_n

_{就是这么一个满足条件的内积。我们现在学的平面几何和立体几何都是在这个内积下的欧几里得空间，由这个内积公式引导出的距离就是欧几里得距离。}

在这个内积定义下，我们还可以知道一个向量的长度|α|

                |α|=sqrt((α,α))=sqrt((α_1²⁺α_2^2+.....α_n²))

_{至于怎么推导的？我们只要算算}|α-β|就知道了。

                   

               |α-β|=sqrt((α_1-β_1)²+(α_2-β_2)²+.....+(α_n-β_n)²)

大家是不是对这个公式很熟悉呢？ : ）

注:sqrt即开方。