数据结构与算法之十一 图

目标.

在本章中，你将学习到：

图相关的概念

实现图

应用图解决编程问题

考虑一种情况：

你必须访问一系列城市并且在结束的时候返回原来的城市。

对此，你需要：

找到最短或花费最少的路径，它开始于当前的城市，访问每一个预期的城市，然后返回原来的城市。

你如何解决此问题？

要解决此问题，你需要：

确定属于不同城市的信息的表示方式和城市间的距离的表示方式。

这种关系可以在图中表示。

图被定义为一种数据结构，它由一系列顶点（节点）和边（弧）组成。

它是数据项(顶点)的集合，这些数据项被相互连接以形成网络。

有两种类型的图：

有向图

无向图

为了实现图，你需要首先以图的形式表示给出的信息。

两种最通用的表示图的方式是：

邻接矩阵(二维数组)

邻接表   (链表)

遍历图表示访问图中的所有顶点。

你可以在下面两个方法的帮助下遍历图：

深度优先搜索 (DFS)

广度优先搜索(BFS)

算法： DFS（v）

1.将起始顶点v压入栈中。

2.重复直到栈变成空：

a.从栈中弹出顶点。

b.访问弹出的顶点。

c.将所有与弹出的顶点相邻接的未访问顶点压入栈。

d.

算法： BFS（v）

1.访问起始顶点v并且将它插入队列。

2.重复步骤3直到队列变成空。

3.从队列删除队头顶点，访问所有它未访问的邻接顶点，并且将它们插入到队列中。

4.

许多问题可以通过以图的形式减少它们而容易的解决。

图论是在不同领域中分析和解决问题的手段，例如计算机网络设计、城市计划、找到最短路径和分子生物学。

假设要在n 个城市之间建立通讯联络网，则连通n个城市只需要修建n-1条线路，如何在最节省经费的前提下建立这个通讯网？(比如说开封、安阳、许昌、驻马店、濮阳、焦作)

最小生成树:普里姆算法

    取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根，之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。

克鲁斯卡尔算法

先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使SG中产生回路，则在 SG上加上这条边，如此重复，直至加上 n-1条边为止。

解决最短路径问题

最短路径问题可以通过在图上应用Dijkstra算法来解决。

Dijkstra算法基于贪婪法。

Dijkstra算法的步骤如下：

      1. 选择顶点v，对应与DISTANCE数组中记录的最小距离，以便v不是已经在FINAL中。

      2. 添加v到FINAL。

      3. 对于不在FINAL中的图中的每个顶点w重复：

              a. 如果从v1到w的路径是比之前记录的从v1到w的距离要短：

                         i.  设置 DISTANCE[w]=DISTANCE[v] +边(v,w)的权重。

      4. 如果FINAL没有包含任何顶点，跳转到步骤1。

小结

在本章中，你已经学到：

表示图的两种最常用的方法如下：

邻接矩阵

邻接表

遍历图表示访问图中的所有节点。

在图中，没有特定的顶点被指定为起始顶点。因此，图的遍历可能从任何顶点开始。

你可以在下面两种方法的帮助下遍历图：

DFS

BFS

图论是在不同领域中分析和解决问题的手段，例如计算机网络设计，城市计划，找到最短路径和分子生物学。

/* 问题描述:你必须以图的形式来表示一系列城市和他们之间的距离.编写一个程序来以邻接矩阵的形式表示图; */using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace GraphsUsingAdjMatrixInCSharp{    class Graph//图类    {        private string[] vertices = new string[10];//定义一个字符串数组,用来存储各个顶点        private int[,] cost = new int[10, 10]; //定义一个邻接矩阵,来存储相应的边.(即顶点与顶点之间的距离.)        private int n; //n为顶点的数量.        public Graph()//构造函数        {            n = 0;//初始化有0个顶点            for (int i = 0; i < 10; i++)//i:行                for (int j = 0; j < 10; j++)//j:列                {                    cost[i, j] = 0;                }        }//设置初始邻接矩阵的内容均为0        private bool edgeExists()//判断边是否存在        {            for (int i = 0; i < 10; i++)                for (int j = 0; j < 10; j++)                    if (cost[i, j] != 0)//如果邻接矩阵存储的内容!=0,则返回真.                        return (true);            return (false);//否则,即邻接矩阵的内容为0,返回假                    }        public void addVertex()//添加有n个城市方法.        {            string vname;//vname:顶点名称            Console.Write("请输入城市的个数（<10):");            n=Convert.ToInt32(Console.ReadLine());            for(int k=0;k<n;k++)            {            Console.Write("\n请输入城市: ");            vname = Console.ReadLine();            int i = getIndex(vname);//获得顶点的索引            if (i != -1)            {                Console.WriteLine("\n城市已经存在.");                return;            }            vertices[k] = vname;     //将输入的城市名,作为图的顶点放入顶点数组.                   }        }        private int getIndex(String vname)//获得顶点索引方法        {            for (int i = 0; i < n; i++)                if (vertices[i] == vname)                    return (i);//如果顶点在数组中存在,则返回相应的索引.            return (-1); /*如果顶点在数组中不存在,则返回-1;*/        }        public void addEdge()//增加边方法;城市之间距离。        {            string v1, v2;//v1,v2:始发城市、目标城市            int i1, i2; //i1,i2:获得始发城市、目标城市的索引            if (n == 0)            {                Console.WriteLine("\n没有城市存在，必须先创建城市.");                return;            }            while (true)            {                Console.Write("\n请输入始发城市: ");                v1 = Console.ReadLine();                i1 = getIndex(v1);                if (i1 == -1)//存在,则退出循环.                    Console.WriteLine("\n出发城市不存在,请重试.");                else                    break;//如果存在则退出循环；否则提示错误信息            }            while (true)//同上,判断v2是否存在            {                Console.Write("\n请输入目标城市: ");                v2 = Console.ReadLine();                i2 = getIndex(v2);                if (i2 == -1)                    Console.WriteLine("\n目标城市不存在,请重试.");                else                    break;            }            Console.Write("\n请输入距离长度: ");                        cost[i1, i2] = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());//设置i1,i2:位置为你从v1到v2的距离.        }        public void display()//显示图的顶点和边的情况.        {            if (n == 0)            {                Console.WriteLine("\n图不存在.");                return;            }            Console.WriteLine("\n城市:");            for (int i = 0; i < n; i++)                Console.WriteLine(vertices[i]);            if (edgeExists())//边存在,则显示始发城市到目标城市的距离.            {                Console.WriteLine("\n距离:");                for (int i = 0; i < n; i++)                    for (int j = 0; j < n; j++)                        if (cost[i, j] != 0)                            Console.WriteLine(vertices[i] + "->" + vertices[j] + "  --   " + cost[i, j]);            }        }    }    class Graph_Program    {        static void Main(string[] args)        {            Graph g = new Graph();            char ch;            do            {                Console.WriteLine();                Console.WriteLine("菜单");                Console.WriteLine("1. 添加城市");                Console.WriteLine("2. 添加距离");                Console.WriteLine("3. 显示");;                Console.WriteLine("4. 退出");                Console.WriteLine();                Console.Write("请输入您的选择: ");                ch = Convert.ToChar(Console.ReadLine());                switch (ch)                {                    case '1': g.addVertex(); break;                    case '2': g.addEdge(); break;                    case '3': g.display(); break;                    case '4': break;                    default: Console.WriteLine("无效选择."); break;                }            } while (ch != '4');        }    }}

/*扩充活动1，找出给定城市到所有城市之间的最短距离；迪杰斯特拉算法(Dijkstra)*/using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace GraphsUsingAdjMatrixInCSharp{    class Graph    {        private string[] vertices = new string[10];//定义一个字符串数组,用来存储各个顶点        private int[,] cost = new int[10, 10]; //定义一个邻接矩阵,来存储相应的边.(即顶点与顶点之间的距离.)        private int n; //n为顶点的数量.        int infinity = 9999999; //infinity:非常大的一个值,        public Graph()        {            n = 0;//n:个顶点            for (int i = 0; i < 10; i++)//行                for (int j = 0; j < 10; j++)//列                {                    if (i == j)                        cost[i, j] = 0;                    else                        cost[i, j] = infinity; //infinity indicates that there is no edge from vertex i to vertex j                }        }        private bool edgeExists()//判断边是否存在        {            for (int i = 0; i < 10; i++)                for (int j = 0; j < 10; j++)                    if ((cost[i,j] != 0) && (cost[i,j] != infinity ))//如果邻接矩阵存储的内容!=0,则返回真.                        return (true);            return (false);//否则,即邻接矩阵的内容为0,返回假        }        public void addVertex()//添加有n个城市方法.        {           string vname;//vname:顶点名称            Console.Write("请输入城市的个数(小于10):");            n=Convert.ToInt32(Console.ReadLine());            for(int k=0;k<n;k++)            {            Console.Write("请输入城市: ");            vname = Console.ReadLine();            int i = getIndex(vname);//获得顶点的索引            if (i != -1)            {                Console.WriteLine("\n城市已经存在.");                return;            }            vertices[k] = vname;     //将输入的城市名,作为图的顶点放入顶点数组.                   }        }        private int getIndex(String vname)//获得顶点索引方法        {            for (int i = 0; i < n; i++)                if (vertices[i] == vname)                    return (i);//如果顶点在数组中存在,则返回相应的索引.            return (-1); /*如果顶点在数组中不存在,则返回-1;*/        }        public void addEdge()//增加边方法.        {            string v1, v2;            int i1, i2;            if (n == 0)            {                Console.WriteLine("\n没有城市存在，必须先创建城市.");                return;            }            while (true)            {                Console.Write("\n请输入始发城市: ");                v1 = Console.ReadLine();                i1 = getIndex(v1);                if (i1 == -1)//存在,则退出循环.                    Console.WriteLine("\n出发城市不存在,请重试.");                else                    break;            }            while (true)//同上,判断v2是否存在            {                Console.Write("\n请输入目标城市: ");                v2 = Console.ReadLine();                i2 = getIndex(v2);                if (i2 == -1)                    Console.WriteLine("\n目标城市不存在,请重试.");                else                    break;            }            Console.Write("\n请输入距离长度: ");            cost[i1, i2] = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());//设置i1,i2:位置为你从v1到v2的距离.        }        public void display()//显示图的顶点和边的情况.        {            if (n == 0)            {                Console.WriteLine("\n图不存在.");                return;            }            Console.WriteLine("\n城市:");            for (int i = 0; i < n; i++)                Console.WriteLine(vertices[i]);            if (edgeExists())//边存在,则显示始发城市到目标城市的距离.            {                Console.WriteLine("\n距离:");                for (int i = 0; i < n; i++)                    for (int j = 0; j < n; j++)                        if ((cost[i, j] != 0) && (cost[i, j] != infinity))                            Console.WriteLine(vertices[i] + "->" + vertices[j] + "  -   " + cost[i, j]);            }        }        public void findShortestPath()//寻找最短路径.        {            int[] Distance = new int[10];//10个距离的数组            bool[] Final = new bool[10];//10个顶点.            string source;//起始顶点.            int src;//起始顶点标志            if (n == 0)            {                Console.WriteLine("\n图不存在，您必须先插入顶点和边");                return;            }            while (true)            {                Console.WriteLine("\n请键入起始顶点: ");                source = Console.ReadLine();                src = getIndex(source);                if (src == -1)                    Console.WriteLine("\n起始顶点不存在");                else                    break;            }            /*初始化距离数组*/            for (int i = 0; i < n; i++)                Distance[i] = cost[src, i];//初始化：起始顶点到其他顶点的距离            Final[src] = true;//Final[0]＝１            for (int i = 1; i < n; i++) //n-1循环            {                /*查找最短距离．*/                int v = 0;/* Find a vertex that is not there in Final. Store its index in v */                for (int j = 0; j < n; j++)                {                    if (Final[j] == false)                    {                        v = j;                        break;                    }                }                /*在顶点数组中找到距离顶点最小的顶点位置*/                for (int j = 0; j < n; j++)                {                    if ((Final[j] == false) && (Distance[j] < Distance[v]))                        v = j;                }                Final[v] = true;                /* Compute the distance of all nodes via node with index min */                for (int w = 0; w < n; w++)                {                    if (Final[w] == false) //Final[1]==false                    {                        if (Distance[v] + cost[v, w] < Distance[w])//Distance[3]+cost[3,1]=3+~ <Distance[1]=5 结果不成立．                            Distance[w] = Distance[v] + cost[v, w];                    }                }            }            Console.WriteLine("\n顶点集合中的最小路径为" + source + "是: ");            for (int j = 0; j < n; j++)            {                if (Distance[j] == infinity)                    Console.WriteLine(source + " -> " + vertices[j] + "=没有路径");                else                    Console.WriteLine(source + " -> " + vertices[j] + " = " + Distance[j]);            }        }            }    class Graph_Program    {        static void Main(string[] args)        {            Graph g = new Graph();            char ch;            do            {                Console.WriteLine();                Console.WriteLine("菜单");                Console.WriteLine("1. 添加城市");                Console.WriteLine("2. 添加距离");                Console.WriteLine("3. 显示");                                                                Console.WriteLine("4.从给定的顶点中寻找最短路径");                Console.WriteLine("4. 退出");                Console.WriteLine();                Console.Write("请输入您的选择: ");                ch = Convert.ToChar(Console.ReadLine());                switch (ch)                {                    case '1': g.addVertex(); break;                    case '2': g.addEdge(); break;                    case '3': g.display(); break;                    case '4': g.findShortestPath(); break;                    case '5': break;                    default: Console.WriteLine("无效选择."); break;                }            } while (ch != '5');        }    }}