组合数学八题

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约定：

1.1<=N,M<=10002.所有答案对1000007(10^6+7)取模3.每道题只有一个点，一个点有多组数据4.输入格式：第一行整数T(T<=10)，表示数据组数；接下来T行每行两个数表示N,M5.时间限制为1s，空间限制为256Mb6.文件名为X.pas/c/cpp，输入为X.in，输出为X.out{大写字母}

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A

给定 N 个不同的球，放进 M 个不同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

8

Solution

很显然，ans=mn

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B

给定 N 个不同的球，放进 M 个不同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

6

Solution

S(m)=mn−∑i=1m−1S(m−i)⋅Cim , S(1)=1

用孙子定理和 Lucas 定理就可以做了。

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C

给定 N 个不同的球，放进 M 个相同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

4

Solution

首先，考虑不允许为空的情况。

fn,m=fn−1,m−1+fn−1,m⋅m

因为可以有空盒，所以枚举有多少个空盒，

ans=∑i=1mfn,i

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D

给定 N 个不同的球，放进 M 个相同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

3

Solution

由 C，

fn,m=fn−1,m−1+fn−1,m⋅m

ans=fn,m。

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E

给定 N 个相同的球，放进 M 个不同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

4

Solution

插板法，ans=Cm−1n−1

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F

给定 N 个相同的球，放进 M 个不同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

2

Solution

插板法，ans=Cm−1n+m−1

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G

给定 N 个相同的球，放进 M 个相同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

2

Solution

设一个方案为 a1,a2,……ak，∑ki=1ak=n，aj≥aj−1(1<j≤k)

若 aj<aj−1、aj−1，方案数不变（因为盒子相同）。

考虑第 i 个盒子，可以不放球，也可以放球。根据方案的递减性，若在当前盒子中放球，那么所有盒子都要放球。
∴fj,i=fj,i−1+fj−i,i

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H

给定 N 个相同的球，放进 M 个相同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？

样例输入：

1
3 2

样例输出：

1

Solution

跟 G 一样。因为不允许为空，所以我们先把 m 个球放到盒子里面去，所以只剩下 n−m 个球，就跟 G 一模一样了。