树形dp--树上涂色

P3691树上涂色

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问题描述

  给出一棵有n个节点(编号1到n)的树，开始时每个节点都没有颜色。现在有A和B两种颜色，给第x号节点涂上A颜色需要花费Ax块钱，给x号节点涂上B颜色需要花费Bx块钱。
  如果i,j两个节点相邻，也就是i和j之间有边直接相连。若i号点已经涂成了A色，那么给j号点涂A色只需Aj/2块钱。若i号点已经涂成了B色，那么给j号点涂B色只需Bj/2块钱。也就是说，如果相邻点已经被涂了相同的颜色，当前点涂这种颜色的时候只需要一半的费用。
  现在需要将树上所有点都涂上颜色，问最少需要多少费用？
  如果i,j两个节点相邻，也就是i和j之间有边直接相连。若i号点已经涂成了A色，那么给j号点涂A色只需Aj/2块钱。若i号点已经涂成了B色，那么给j号点涂B色只需Bj/2块钱。也就是说，如果相邻点已经被涂了相同的颜色，当前点涂这种颜色的时候只需要一半的费用。
  现在需要将树上所有点都涂上颜色，问最少需要多少费用？

输入格式


第一行，一个整数n，表示节点总数
第二行，n个空格间隔的整数，分别表示给1到n号节点涂上A颜色所需费用
第三行，n个空格间隔的整数，分别表示给1到n号节点涂上B颜色所需费用
接下来n-1行，每行两个整数i和j，表示i和j节点间有边直接相连


输出格式


一行，一个整数，所需最小费用


样例输入 1


3
1 2 5
3 8 1
1 2
1 3


样例输出 1


3


样例输入 2


6
1 40 2 5 6 10
4 14 4 2 8 30
1 2
1 3
2 4
4 5
4 6


样例输出 2


25


提示


1<=n<=100

0<=Ax,Bx<=10000

分析:

状态:

f[i][0]:   以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中i涂A颜色，与i连通的同色块（在子树内的）中，所有点都是以半价涂色的(即没有“涂色起点”)。
f[i][1]:  以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中，i涂A颜色，与i连通的同色块中，存在一个节点是以全部代价涂色的(即有“涂色起点”)。
g[i][0]:  以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中i涂B颜色，与i连通的同色块中，所有点都是以半价涂色的。
g[i][1]:  以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中i涂B颜色，与i连通的同色块中，存在一个节点是以全部代价涂色

f[i][0]=Sum{ min( f[ j][0] , g[ j][1] ) }     ( j为i的所有儿子节点)

1.为什么不讨论f[j][1]呢？

2.为什么不讨论g[j][0]呢？

想一想,为什么?

方程:

f[i][0]=Sum{ min( f[ j][0] , g[ j][1] ) }     ( j为i的所有儿子节点)

f[i][1]=min{
           f[i][0]+ A[i]/2            //i涂全价A色
           f[i][0]+ ChaJia           //i的一个同色连通子树中存在一个节点涂全价A色
      }

 ChaJia=min{ f[j][1]-min(f[j][0] ,  g[j][1] )  }   j为i的所有儿子节点

说明：
f[i][1]表示i为根的字数中，i涂A色，且与i同色的连通块中，有一个点是全价A的最优方案。 我们可以对i涂全价A，也可以使与A同色连通的某棵子树中存在全价A的点。
而f[i][0]表示i为根的子树中，i涂A色，且与i同色的连通块全是半价A的最优方案。求f[i][1]只需在f[i][0]上做调整
如果我们直接将i涂成全价的A，即是f[i][0]+A[i]/2
如果我们不把i涂成全价的A，而是选一棵与i同色连通的且存在全价A的子树替换掉原来的子树，即是f[i][0]+ChaJia 这棵子树原来加入f[i][0]的状态是min(g[j][1],f[j][0]),而新替换进的状态是f[j][1],两者之差即为替换产生的差价。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#define inf 1e9using namespace std;struct line{int from,to;};line edge[1000005];int last[1005],_next[100005];int n,m=0;int a[105],b[105];int f[105][5],g[105][5];void add_edge(int x,int y){m++;_next[m]=last[x];last[x]=m;edge[m].from=x;edge[m].to=y;}void dp(int x,int fa){int i,j,k;bool leaf=true;int cha1=inf,cha2=inf;/*if(last[x]==0){f[x][1]=a[x];g[x][1]=b[x];f[x][0]=a[x]/2;g[x][0]=b[x]/2;return;}*/for(j=last[x];j;j=_next[j]){i=edge[j].to;if(i==fa)continue;dp(i,x);leaf=false;f[x][0]+=min(f[i][0],g[i][1]);g[x][0]+=min(f[i][1],g[i][0]);cha1=min(cha1,f[i][1]-min(f[i][0],g[i][1]));cha2=min(cha2,g[i][1]-min(f[i][1],g[i][0]));}if(leaf){f[x][1]=a[x];g[x][1]=b[x];f[x][0]=a[x]/2;g[x][0]=b[x]/2;}else{f[x][0]+=a[x]/2;g[x][0]+=b[x]/2;f[x][1]=f[x][0]+min(a[x]/2,cha1);g[x][1]=g[x][0]+min(b[x]/2,cha2);}}int main(){int i,j,k;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&b[i]);}for(i=1;i<n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add_edge(x,y);add_edge(y,x);}dp(1,0);cout<<min(f[1][1],g[1][1]);}/*f[i][0]表示i涂a并且连通的全半价 f[i][1]表示i涂a并且连通的1个全价  g[i][0]表示i涂b并且连通的全半价 g[i][1]表示i涂b并且连通的1个全价*/