数据结构之二叉堆

二叉堆的介绍

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。

• 最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；
• 最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

示意图如下：

二叉堆一般都通过”数组”来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将”二叉堆的第一个元素”放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。
假设”第一个元素”在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

实现

以最大堆为例

template <class T>class MaxHeap{    private:        T *mHeap;        // 数据        int mCapacity;    // 总的容量        int mSize;        // 实际容量    private:        // 最大堆的向下调整算法        void filterdown(int start, int end);        // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)        void filterup(int start);    public:        MaxHeap();        MaxHeap(int capacity);        ~MaxHeap();        // 返回data在二叉堆中的索引        int getIndex(T data);        // 删除最大堆中的data        int remove(T data);        // 将data插入到二叉堆中        int insert(T data);        // 打印二叉堆        void print();};

添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下

如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

/* * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆) * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) */template <class T>void MaxHeap<T>::filterup(int start){    int c = start;            // 当前节点(current)的位置    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置     T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小    while(c > 0)    {        if(mHeap[p] >= tmp)            break;        else        {            mHeap[c] = mHeap[p];            c = p;            p = (p-1)/2;           }           }    mHeap[c] = tmp;}/*  * 将data插入到二叉堆中 * * 返回值： *     0，表示成功 *    -1，表示失败 */template <class T>int MaxHeap<T>::insert(T data){    // 如果"堆"已满，则返回    if(mSize == mCapacity)        return -1;    mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾    filterup(mSize);    // 向上调整堆    mSize++;                    // 堆的实际容量+1    return 0;}

删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

/*  * 最大堆的向下调整算法 * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */template <class T>void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end){    int c = start;          // 当前(current)节点的位置    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置    T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小    while(l <= end)    {        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子        if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])            l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]        if(tmp >= mHeap[l])            break;        //调整结束        else        {            mHeap[c] = mHeap[l];            c = l;            l = 2*l + 1;           }           }       mHeap[c] = tmp;}/* * 删除最大堆中的data * * 返回值： *      0，成功 *     -1，失败 */template <class T>int MaxHeap<T>::remove(T data){    int index;    // 如果"堆"已空，则返回-1    if(mSize == 0)        return -1;    // 获取data在数组中的索引    index = getIndex(data);     if (index==-1)        return -1;    mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补    filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆    return 0;}

二叉堆的C++实现(完整源码)

/** * 二叉堆(最大堆) * * @author skywang * @date 2014/03/07 */#include <iomanip>#include <iostream>using namespace std;template <class T>class MaxHeap{    private:        T *mHeap;        // 数据        int mCapacity;    // 总的容量        int mSize;        // 实际容量    private:        // 最大堆的向下调整算法        void filterdown(int start, int end);        // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)        void filterup(int start);    public:        MaxHeap();        MaxHeap(int capacity);        ~MaxHeap();        // 返回data在二叉堆中的索引        int getIndex(T data);        // 删除最大堆中的data        int remove(T data);        // 将data插入到二叉堆中        int insert(T data);        // 打印二叉堆        void print();};/*  * 构造函数 */template <class T>MaxHeap<T>::MaxHeap(){    new (this)MaxHeap(30);}template <class T>MaxHeap<T>::MaxHeap(int capacity){    mSize = 0;    mCapacity = capacity;    mHeap = new T[mCapacity];}/*  * 析构函数 */template <class T>MaxHeap<T>::~MaxHeap() {    mSize = 0;    mCapacity = 0;    delete[] mHeap;}/*  * 返回data在二叉堆中的索引 * * 返回值： *     存在 -- 返回data在数组中的索引 *     不存在 -- -1 */template <class T>int MaxHeap<T>::getIndex(T data){    for(int i=0; i<mSize; i++)        if (data==mHeap[i])            return i;    return -1;}/*  * 最大堆的向下调整算法 * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */template <class T>void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end){    int c = start;          // 当前(current)节点的位置    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置    T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小    while(l <= end)    {        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子        if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])            l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]        if(tmp >= mHeap[l])            break;        //调整结束        else        {            mHeap[c] = mHeap[l];            c = l;            l = 2*l + 1;           }           }       mHeap[c] = tmp;}/* * 删除最大堆中的data * * 返回值： *      0，成功 *     -1，失败 */template <class T>int MaxHeap<T>::remove(T data){    int index;    // 如果"堆"已空，则返回-1    if(mSize == 0)        return -1;    // 获取data在数组中的索引    index = getIndex(data);     if (index==-1)        return -1;    mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补    filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆    return 0;}/* * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆) * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) */template <class T>void MaxHeap<T>::filterup(int start){    int c = start;            // 当前节点(current)的位置    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置     T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小    while(c > 0)    {        if(mHeap[p] >= tmp)            break;        else        {            mHeap[c] = mHeap[p];            c = p;            p = (p-1)/2;           }           }    mHeap[c] = tmp;}/*  * 将data插入到二叉堆中 * * 返回值： *     0，表示成功 *    -1，表示失败 */template <class T>int MaxHeap<T>::insert(T data){    // 如果"堆"已满，则返回    if(mSize == mCapacity)        return -1;    mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾    filterup(mSize);    // 向上调整堆    mSize++;                    // 堆的实际容量+1    return 0;}/*  * 打印二叉堆 * * 返回值： *     0，表示成功 *    -1，表示失败 */template <class T>void MaxHeap<T>::print(){    for (int i=0; i<mSize; i++)        cout << mHeap[i] << " ";}int main(){    int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};    int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;    MaxHeap<int>* tree=new MaxHeap<int>();    cout << "== 依次添加: ";    for(i=0; i<len; i++)    {        cout << a[i] <<" ";        tree->insert(a[i]);    }    cout << "\n== 最 大 堆: ";    tree->print();    i=85;    tree->insert(i);    cout << "\n== 添加元素: " << i;    cout << "\n== 最 大 堆: ";    tree->print();    i=90;    tree->remove(i);    cout << "\n== 删除元素: " << i;    cout << "\n== 最 大 堆: ";    tree->print();    cout << endl;     system("pause");    return 0;}

效果如下