数据结构 之 二叉堆

一、二叉堆简介： 

二叉堆故名思议是一种特殊的堆，二叉堆具有堆的性质（父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值），二叉堆又具有二叉树的性质（二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树）。当父节点的键值大于或等于（小于或等于）它的每一个子节点的键值时我们称它为最大堆（最小堆），或者是大根堆（小根堆）。

     二叉堆多数是以数组作为它们底层元素的存储。

假如根节点在数组中的索引是1，那么根结点的左右子节点在数组中的位置是 2,3；存储在第n个位置的父节点，它的左右子节点在数组中的存储位置为2n与2n+1。

假如根节点在数组中的索引是0，那么根结点的左右子节点在数组中的位置是 1,2。存储在第n个位置的父节点，它的左右子节点在数组中的存储位置为2n+1与2n+2。

例如：

 在这个图中，数组中的第一个元素（下标为0）就没有使用。

二、基本算法：

在二叉堆中，有两个基本的辅助算法：Sift-up（元素上移调整）  和  Sift-down（元素下移调整）。

下面分别给出其伪代码:

三、大根堆

下面直接贴出大根堆的实现代码：（在这个实现中，二叉堆中根结点在数组中的位置是从下标0开始的）

//最大堆的下滑调整void siftdown(int *heap,int start,int m)  //m表示堆元素个数{                                         //注意数组下标是从0开始的    int i=start,j=2*i+1;    int temp=heap[i];    while(j<=m)    {        if(j<m&&heap[j]<heap[j+1]) j++; //如果右结点大于左节点        if(temp>=heap[j]) break;        else        {            heap[i]=heap[j];            i=j;            j=2*j+1;        }    }    heap[i]=temp;}//最大堆的上滑调整void siftup(int *heap,int start){    int j=start,i=(j-1)/2;    int temp=heap[j];   //调整值    while(j>0)    {        if(heap[i]>=temp) break;   //调整值小于等于其根植，结束        else        {            heap[j]=heap[i];            j=i;            i=(i-1)/2;        }    }    heap[j]=temp;}//向最大堆插入一个元素xbool insert(int *heap,int &n,int x)   //将x插入到最大堆中{                                     //n表示堆元素个数  这里的n加一之后返回    heap[n]=x;    siftup(heap,n);   //从插入位置开始向上调整    n++;    return true;}//删除堆顶元素bool remove(int *heap,int &n,int &x)   //删除堆顶（最大元素）x返回堆顶元素{                                      //n表示堆元素个数  这里的n减一之后返回    x=heap[0];    heap[0]=heap[n-1]; //将堆中的最后一个元素转移到堆顶    n--;    siftdown(heap,0,n);  //从堆根位置开始从上向下调整    return true;}//创建一个最大堆void Creat_maxheap(int *arr,int n)  //建立最大堆                                   //n表示堆元素个数{    int currentsize=n;  //当前堆大小    int currentpos=(currentsize-2)/2; //开始调整位置    while(currentpos>=0)    {        siftdown(arr,currentpos,currentsize-1);        currentpos--;    }}//堆排序，利用大根堆从小到大排序数组void HeapSort(int *heap,int n){    for(int i=(n-2)/2;i>=0;i--)   //将数组先转换成为堆（即建堆），这里是大根堆        siftdown(heap,i,n-1);    for(int i=n-1;i>=1;i--)      //排序    {        swap(heap[0],heap[i]);        siftdown(heap,0,i-1);    }}

其中需要注意的是堆排序，在上面的堆排序中，需要排序的数组作为参数直接传入方法中，在堆排序方法中会执行建堆过程。

下面给出一个堆排序的例子:

int num[8]={53,17,78,9,45,65,87,23};    int n=8;    cout<<"排序前：";    for(int j=0;j<n;j++) cout<<num[j]<<" ";    cout<<endl;    HeapSort(num,n);    cout<<"排序后：";    for(int j=0;j<n;j++) cout<<num[j]<<" ";    cout<<endl;

运行结果：

从运行结果可以知道，利用最大堆进行排序的结果是非降序的。

四、小根堆

对照上文中的大根堆的实现代码，很快我们可以写成小根堆的实现代码如下：（注意：小根堆的根结点元素在数组中的位置也是从0开始的）

//最小堆的下滑调整void siftdown(int *heap,int start,int m)  //m表示堆元素个数{    int i=start,j=2*i+1;    int temp=heap[i];    while(j<=m)    {        if(j<m&&heap[j]>heap[j+1]) j++;        if(temp<heap[j]) break;        else        {            heap[i]=heap[j];            i=j;            j=2*j+1;        }    }    heap[i]=temp;}//最小堆的上滑调整void siftup(int *heap,int start){    int j=start,i=(j-1)/2;    int temp=heap[j];    while(j>0)    {        if(heap[i]<=temp) break;        else        {            heap[j]=heap[i];            j=i;            i=(i-1)/2;        }    }    heap[j]=temp;}//建立最小堆void Creat_minheap(int *arr,int n)  //n表示堆元素个数{    int currentsize=n;  //当前堆大小    int currentpos=(currentsize-2)/2;    while(currentpos>=0)    {        siftdown(arr,currentpos,currentsize-1);        currentpos--;    }}//插入一个元素bool insert(int *heap,int &n,int x)   //将x插入到最小堆中{                                     //n表示堆元素个数  这里的n加一之后返回    heap[n]=x;    siftup(heap,n);    n++;    return true;}//删除堆顶元素bool remove(int *heap,int &n,int &x)   //删除堆顶（最小元素）x返回堆顶元素{                                      //n表示堆元素个数  这里的n减一之后返回    x=heap[0];    heap[0]=heap[n-1];    n--;    siftdown(heap,0,n);    return true;}//堆排序，利用小根堆从大到小排序数组void HeapSort(int *heap,int n){    for(int i=(n-2)/2;i>=0;i--)  //将数组（表）转换成为堆（建堆），这里是小根堆        siftdown(heap,i,n-1);    for(int i=n-1;i>=0;i--)      //排序    {        swap(heap[0],heap[i]);        siftdown(heap,0,i-1);    }}

同样我们还是注意到这里的堆排序：

同样执行上面的一个堆排序例子：

int num[8]={53,17,78,9,45,65,87,23};    int n=8;    cout<<"排序前：";    for(int j=0;j<n;j++) cout<<num[j]<<" ";    cout<<endl;    HeapSort(num,n);    cout<<"排序后：";    for(int j=0;j<n;j++) cout<<num[j]<<" ";    cout<<endl;

运行结果：

从运行结果可以知道，利用最小堆进行排序的结果是非升序的。