回溯法的解题步骤与例子解析
来源:互联网 发布:深圳行知职业技术官网 编辑:程序博客网 时间:2024/05/13 21:02
回溯法有“通用解题法”之称。用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。
1.回溯法的解题步骤
(1)针对所给问题,定义问题的解空间;
(2)确定易于搜索的解空间结构;
(3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
2.子集树与排列树
下面的两棵解空间树是回溯法解题时常遇到的两类典型的解空间树。
(1)当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时,相应的解空间树称为子集树。例如从n个物品的0-1背包问题(如下图)所相应的解空间树是一棵子集树,这类子集树通常有2^n个叶结点,其结点总个数为2^(n+1)-1。遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间。
(2)当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时,相应的解空间树称为排列树。例如旅行售货员问题(如下图)的解空间树是一棵排列树,这类排列树通常有n!个叶结点。遍历子集树的算法需Ω(n!)计算时间。
用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为:
/** * output(x) 记录或输出得到的可行解x * constraint(t) 当前结点的约束函数 * bount(t) 当前结点的限界函数 * @param t t为当前解空间的层数 */void backtrack(int t){if(t >= n)output(x);elsefor (int i = 0; i <= 1; i++) {x[t] = i;if(constraint(t) && bount(t))backtrack(t+1);}}
用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为:
/** * output(x) 记录或输出得到的可行解x * constraint(t) 当前结点的约束函数 * bount(t) 当前结点的限界函数 * @param t t为当前解空间的层数 */void backtrack(int t){if(t >= n)output(x);elsefor (int i = t; i <= n; i++) {swap(x[t], x[i]);if(constraint(t) && bount(t))backtrack(t+1);swap(x[t], x[i]);}}
3.回溯法的应用例子
(a)子集树
(为了便于描述算法,下列方法使用了较多的全局变量)
I.输出集合S中所有的子集,即limit为all;
II.输出集合S中限定元素数量的子集,即limit为num;
III.输出集合S中元素奇偶性相同的子集,即limit为sp。
public class Subset {private static int[] s = {1,2,3,4,5,6,7,8};private static int n = s.length;private static int[] x = new int[n];/** * 输出集合的子集 * @param limit 决定选出特定条件的子集 * 注:all为所有子集,num为限定元素数量的子集, * sp为限定元素奇偶性相同,且和小于8。 */public static void all_subset(String limit){switch(limit){case "all":backtrack(0);break;case "num":backtrack1(0);break;case "sp":backtrack2(0);break;}}/** * 回溯法求集合的所有子集,依次递归 * 注:是否回溯的条件为精髓 * @param t */private static void backtrack(int t){if(t >= n)output(x);elsefor (int i = 0; i <= 1; i++) {x[t] = i;backtrack(t+1);}}/** * 回溯法求集合的所有(元素个数小于4)的子集,依次递归 * @param t */private static void backtrack1(int t){if(t >= n)output(x);elsefor (int i = 0; i <= 1; i++) {x[t] = i;if(count(x, t) < 4)backtrack1(t+1);}}/** * (剪枝) * 限制条件:子集元素小于4,判断0~t之间已被选中的元素个数, * 因为此时t之后的元素还未被递归,即决定之后的元素 * 是否应该被递归调用 * @param x * @param t * @return */private static int count(int[] x, int t) {int num = 0;for (int i = 0; i <= t; i++) {if(x[i] == 1){num++;}}return num;}/** * 回溯法求集合中元素奇偶性相同,且和小于8的子集,依次递归 * @param t */private static void backtrack2(int t){if(t >= n)output(x);elsefor (int i = 0; i <= 1; i++) {x[t] = i;if(legal(x, t))backtrack2(t+1);}}/** * 对子集中元素奇偶性进行判断,还需元素的数组和小于8 * @param x * @param t * @return */private static boolean legal(int[] x, int t) {boolean bRet = true; //判断是否需要剪枝int part = 0; //奇偶性判断的基准for (int i = 0; i <= t; i++) { //选择第一个元素作为奇偶性判断的基准if(x[i] == 1){part = i;break;}}for (int i = 0; i <= t; i++) {if(x[i] == 1){bRet &= ((s[part] - s[i]) % 2 == 0);}}int sum = 0;for(int i = 0; i <= t; i++){if(x[i] == 1)sum += s[i];}bRet &= (sum < 8); return bRet;}/** * 子集输出函数 * @param x */private static void output(int[] x) {for (int i = 0; i < x.length; i++) {if(x[i] == 1){System.out.print(s[i]);}}System.out.println();}}
(b) 排列树
(为了便于描述算法,下列方法使用了较多的全局变量)
I.输出集合S中所有的排列,即limit为all;
II.输出集合S中元素奇偶性相间的排列,即limit为sp。
public class Permutation {private static int[] s = {1,2,3,4,5,6,7,8};private static int n = s.length;private static int[] x = new int[n];/** * 输出集合的排列 * @param limit 决定选出特定条件的子集 * 注:all为所有排列,sp为限定元素奇偶性相间。 */public static void all_permutation(String limit){switch(limit){case "all":backtrack(0);break;case "sp":backtrack1(0);break;}}/** * 回溯法求集合的所有排列,依次递归 * 注:是否回溯的条件为精髓 * @param t */private static void backtrack(int t){if(t >= n)output(s);elsefor (int i = t; i < n; i++) {swap(i, t, s);backtrack(t+1);swap(i, t, s);}}/** * 回溯法求集合中元素奇偶性相间的排列,依次递归 * @param t */private static void backtrack1(int t){if(t >= n)output(s);elsefor (int i = t; i < n; i++) {swap(i, t, s);if(legal(x, t))backtrack1(t+1);swap(i, t, s);}}/** * 对子集中元素奇偶性进行判断 * @param x * @param t * @return */private static boolean legal(int[] x, int t) {boolean bRet = true; //判断是否需要剪枝//奇偶相间,即每隔一个数判断奇偶相同for (int i = 0; i < t - 2; i++) {bRet &= ((s[i+2] - s[i]) % 2 == 0);} return bRet;}/** * 元素交换 * @param i * @param j */private static void swap(int i, int j,int[] s) {int tmp = s[i];s[i] = s[j];s[j] = tmp;}/** * 子集输出函数 * @param x */private static void output(int[] s) {for (int i = 0; i < s.length; i++) {System.out.print(s[i]);}System.out.println();}}
参考文献:
1. 《算法设计与分析》
- 回溯法的解题步骤与例子解析
- 回溯法的一般步骤
- 回溯法解决问题的3个步骤
- 栈回溯法的一个例子
- 消除回溯很好的例子
- 一个分支限界和回溯法的例子
- 全面解析回溯法:算法框架与问题求解
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