斜率优化

bzoj1911 && APIO2010 特别行动队

题目描述

你有一支由n名预备役士兵组成的部队，士兵从1到n编号，

要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。

出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，

即为形如(i, i + 1, …, i + k)的序列。

编号为i的士兵的初始战斗力为xi ，一支特别行动队的初始战斗力x为队内士兵初始战斗力之和，

即x = xi + xi+1 + … + xi+k。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为

x'：x' = ax^2 + bx + c，其中a, b, c是已知的系数（a < 0）。

作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。

试求出这个最大和。例如，你有4名士兵，x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4。

经验公式中的参数为a = –1, b =10, c = –20。

此时，最佳方案是将士兵组成3个特别行动队：

第一队包含士兵1和士兵2，第二队包含士兵3，第三队包含士兵4。

特别行动队的初始战斗力分别为4, 3, 4，修正后的战斗力分别为4, 1, 4。

修正后的战斗力和为9，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。

 

输入格式

输入由三行组成。第一行包含一个整数n，表示士兵的总数。

第二行包含三个整数a, b, c，经验公式中各项的系数。

第三行包含n个用空格分隔的整数x1, x2, …, xn，

分别表示编号为1, 2, …, n的士兵的初始战斗力。

【数据范围】
20%的数据中，n ≤ 1000；50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，

|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100。

 

输出格式

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

 

样例输入

4

-1 10 -20

2 2 3 4

样例输出

9

这是一个斜率优化的题

朴素的可以想到有

dp[i] = dp[j] + a*SQR(s[i]-s[j])+b*(s[i]-s[j])+c

对于dp[i]有两个决策j,k，且k更优，则有

dp[k]-dp[j]-2*s[i]*s[k]+2*s[i]*s[j]+a*s[k]^2-a*s[j]^2-b*s[k]+b*s[j]>0

整理得

(dp[k]+a*s[k]^2-b*s[k]) – (dp[j]+a*s[j]^2-b*s[j]) > 2*a*s[i]*(s[k]-s[j])

设函数F(i) = dp[i]+a*s[i]^2-b*s[i]

X(i,j)=(F(k) – F(j)) / (s[k] – s[j])

这就是斜率式了，后面就是维护一个单调队列就好了

第一次写（抄）斜率优化，看了半天定义，以前寥寥草草知道一点队尾的操作，不知道队头还有操作

下面抄一段证明。。。。

现在从左到右，还是设k<j<i，如果g[i,j]<g[j,k]，那么j点便永远不可能成为最优解，可以直接将它踢出我们的最优解集。为什么呢？

我们假设g[i,j]<sum[i]，那么就是说i点要比j点优，排除j点。

如果g[i,j]>=sum[i]，那么j点此时是比i点要更优，但是同时g[j,k]>g[i,j]>sum[i]。这说明还有k点会比j点更优，同样排除j点。

排除多余的点，这便是一种优化！

 

接下来看看如何找最优解。

设k<j<i。

由于我们排除了g[i,j]<g[j,k]的情况，所以整个有效点集呈现一种上凸性质，即k j的斜率要大于j i的斜率。

这样，从左到右，斜率之间就是单调递减的了。当我们的最优解取得在j点的时候，那么k点不可能再取得比j点更优的解了，于是k点也可以排除。换句话说，j点之前的点全部不可能再比j点更优了，可以全部从解集中排除。

 

于是对于这题我们对于斜率优化做法可以总结如下：

1，用一个单调队列来维护解集。

2，假设队列中从头到尾已经有元素a b c。那么当d要入队的时候，我们维护队列的上凸性质，即如果g[d,c]<g[c,b]，那么就将c点删除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]为止，并将d点加入在该位置中。

3，求解时候，从队头开始，如果已有元素a b c，当i点要求解时，如果g[b,a]<sum[i]，那么说明b点比a点更优，a点可以排除，于是a出队。最后dp[i]=getDp(q[head])。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;#define SQR(x) (x) * (x)typedef long long LL;LL n, a, b, c, s[1000010], q[1000010], data[1000010];inline double F(int k){return data[k] + a * SQR(s[k]) - b * s[k];}inline double X(int k, int j){return (F(k) - F(j)) / (s[k] - s[j]);}int main(){       int i;           cin>>n>>a>>b>>c;       s[0] = 0;       for(i = 1; i <= n; i++){cin>>s[i]; s[i] += s[i - 1];}       int head = 0, tail = 0; q[0] = data[0] = 0;//习惯于这么弄初始状态。       for(i = 1; i <= n; i++)       {              int p = 2 * a * s[i];              while(head < tail && X(q[head], q[head + 1]) > p) ++head;              int xx = q[head];              data[i] = data[xx] + a * SQR(s[i] - s[xx]) + b * (s[i] - s[xx]) + c;              while(head < tail && X(q[tail], i) > X(q[tail - 1], q[tail])) --tail;              q[++tail] = i;       }       cout<<data[n];return 0;}