斜率优化

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010
Description
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
Sample Input
5 4
3
4
2
1
4
Sample Output
1

先列出n^2的dp：
dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2) (j < i)
然后设循环中的k是最右解，j是普通解，列出不等式，化简成一侧是f【i】的，左侧是/的形式：
(dp[k]+(f[k]+c)^2-dp[j]-(f[j]+c)^2)/2*(f[k]-f[j])<=f[i]
每个点是( （dp[k]+(f[k]+c)^2）, 2*f[k] )

本来是把正常小于i的所有j循环,找最大的k…然后现在为了快点找k 所以推出这个关系, 对于所有j和那个点连起来斜率都小于等于f[i]的就是k,于是用f[i]去找最右下的点。 显然如果出现上凸的，用f[i]平移的话，最后一定不会是这个点，就没用了。所以就是个下凸的凸包。。。维护上面的点即可，还是个单调队列，不用二分找这个点，因为对于当前i满足这个式子的k和j对于i+1。。。f[i+1]>f[i]。所以一定还满足这个式子。。。就是个单调队列了=。=从头找，不合法的对后面的答案没有用了，就删掉（head++），找到第一个就一定是这个点，因为考虑图形是斜率逐渐增大的，第一个找到的点就是最右下的！

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>typedef long long  LL;using namespace std;int n;const int nn=51000;LL l,c[nn],L;LL dp[nn];LL sum[nn];struct pll{    long long first,second;    int pos;} stak[nn],tmp;int head,last;int cross(pll a,pll b,pll c){    return (b.first-a.first)*(c.second-a.second)-(c.first-a.first)*(b.second-a.second) > 0;}LL read(){    LL x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}void add(LL x,LL y,int i){   // cout <<"x = "<<x <<" y = "<<y<<endl;    while(last > head){        tmp.first = x,tmp.second = y,tmp.pos = i;        if(cross(stak[last-1],stak[last],tmp))            break;        last--;    }    stak[++last].first = x;    stak[last].second = y;    stak[last].pos = i;  //  cout << stak[last].first <<"        "<<stak[last].second<<endl;}void init(){//    scanf("%d",&n);//    cin>>l;//    l++;//    for(int i = 1 ;i <= n;i++){//            cin>>c[i];//scanf("%I64d",&c[i]);//            sum[i]=sum[i-1]+c[i];//        }//    for(int i = 1; i <= n ; i++)//        sum[i] += i;    n=read();L=read();l=L+1;    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=read();    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+c[i];    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]+=i;}double sp(pll k,pll j){   // cout <<"  "<<(j.first-k.first)<<endl;    return (j.second-k.second)/(j.first-k.first);}double check(int j,int k){    return (dp[k]+(sum[k]+l)*(sum[k]+l)-dp[j]-(sum[j]+l)*(sum[j]+l))/(2.0*(sum[k]-sum[j]));}void sov(){    dp[0]=0;    head = 1;    last = 1;    stak[1].first = stak[1].second = stak[1].pos = 0;    for(int i=1;i<=n;i++){           // cout <<i <<endl;            while(head < last && check(stak[head].pos,stak[head+1].pos)<=sum[i])    head++;            int t = stak[head].pos;           // cout<<"t = "<<t<<endl;           // printf("sum[%d] = %I64d  sum[%d] = %I64d \n",i,sum[i],t,sum[t]);            dp[i] = dp[t]+(sum[i]-sum[t]-l)*(sum[i]-sum[t]-l);           // cout<<"dp = "<<dp[i]<<endl;           // add(2*sum[i],dp[i]+(sum[i]+l)*(sum[i]+l),i);           tmp.first = 2*sum[i];tmp.second = dp[i]+(sum[i]+l)*(sum[i]+l);tmp.pos = i;           while(head < last && check(stak[last].pos,tmp.pos)< check(stak[last-1].pos,stak[last].pos))last--;                stak[++last]=tmp;           // cout <<"y = "<<dp[i]+(sum[i]+l)*(sum[i]+l) << "  x = "<<2*sum[i]<<endl;        }//        for(int i = 1; i <= n ; i++)//            printf("dp[%d] = %I64d\n",i,dp[i]);        cout<<dp[n]<<endl;//printf("%I64d\n",dp[n]);}int main(){    init();    sov();    return 0;}

特别行动队。
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1911
上凸包，其实可以直接判断等式，而不用叉乘判断凸包，都一样。

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;int n,A,B,C,head,last;const int maxn = 1e6+10;long long a[maxn],sum[maxn],f[maxn],q[maxn];void init(){    scanf("%d",&n);    scanf("%d%d%d",&A,&B,&C);    for(int i = 1; i <= n ; i++){        scanf("%lld",&a[i]);        sum[i] = sum[i-1]+a[i];    }}double check(int j,int k){    return (double)(f[k]-f[j]+A*((sum[k]*sum[k])-(sum[j]*sum[j]))+B*(sum[j]-sum[k]))/(2.0*(sum[k]-sum[j])*A);}void sov(){    head = last = 1;q[1] = 0;    for(int i = 1; i <= n ; i++){        while(head < last && check(q[head],q[head+1]) <= sum[i]) head++;        f[i] = f[q[head]]+A*(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]])+B*(sum[i]-sum[q[head]])+C;        while(head < last&& check(q[last-1],q[last]) > check(q[last],i))    last--;        q[++last] = i;    }    printf("%lld\n",f[n]);}int main(){    init();    sov();}