[数论][题目]高级机密

题目描述：

       很多情况下，我们需要对信息进行加密。特别是随着Internet的飞速发展，加密技术就显得尤为重要。

       很早以前，罗马人为了在战争中传递信息，频繁地使用替换法进行信息加密。然而在计算机奇数高速发展的今天，这种替换法显得不堪一击。因此密码研究人员正在试图寻找一样易于编码、但不易于解码的编码规则。

       目前比较流行的编码规则称为RSA，是由美国麻省理工学院的三位教授发明的。这种编码规则是基于一种求密去模算法的：对于给出的三个正整数a，b，c，计算a的b次方除以c的余数。

       你的任务是编写一个程序计算a^b mod c

 

输入格式：

       三个正整数a,b,c从文本文件SECRET.DAT中输入。输入文件只有一行，依次为三个正整数a,b,c,三个正整数之间以一个空格隔开，并且1≤a,b<c≤32768。

输出格式：

       将你的程序的运行结果写入文本文件SECRET.DAT中，要求文件有且只有一行。

输入输出样例

Sample input

Output for the input

2 6 11

9

 

 

问题分析：

       关于该题的数学模型及相关算法已经在[数论]求解大数的模 a^b%R 中提到过了，并且进行过详细的算法分析。只有一点得提到的也是新手比较容易犯的错误就是直接求a^b的结果然后取余，理论上是可行的，但是基于计算机对数字处理方式的特殊性，尤其是C++语言本身不支持大数的运算，现在最大能处理的数据是64位2进制数(__int64类型)。再看看输入限制，应该来说是远远超出该处理范围的，所以只能用模数的性质来做这一题了。

       当然，O(b)的算法和O(log₂b)这两种时间复杂度的算法当然都是可以考虑的，毕竟题目所限定的b不是很大。当然还是推荐大家再把O(log₂b)的算法再熟悉一下。

 

参考代码：

 

#include <iostream>

#include <fstream>

 

using namespace std;

 

// 求a的b次方模n的结果 ( a^b %n )

// 主要考虑到a的b次方可能是一个很大的数字，直接求起结果很可能会导致溢出，所以需要

// 使用特殊的算法求解结果

int modExp( int a, int b, int r )

{

     int Result=1;

 

     while( b!=0 )

     {

         if ( b%2==1 )

              Result = Result*a %r;

 

         a = a * a % r;

         b = b / 2;

     }

     return Result;        

}

 

int main()

{

     ifstream inData("SECRET.DAT", ios::in);

     ofstream outData("SECRET.OUT", ios::out);

 

     int a,b,c;

     inData>>a>>b>>c;

 

     outData<<modExp(a,b,c);   

 

     return 0;

}