三个连续自然数之积

• 3 个连续自然数之积能被 2和3 整除
• 4 个连续自然数之积能被 2、3、4整除
• n 个连续自然数之积能被 2,3,…,n−1,n 整除；

1. 三个连续自然数之积

求证：

f(n)=n3+6n2+11n+12

能被 6 整除。

对原式做适当变形：

f(n)=n3+6n2+11n+6+6=(n+1)(n+2)(n+3)+6

所以问题转化为：

三个连续自然数之积总能被 6 整除。

而 6=2×3，2 与 3 互质，所谓问题又被转化为：

三个连续自然数之积，既能被 2 整除，又能被 3 整除。

2. 三个连续自然数之积为 1716

1716=2⋅2⋅3⋅11⋅13=11⋅12⋅13