PID控制算法推算

传统数字PID控制算法

模拟PID调节器：
u(t)=Kp[e(t)+1Ti∫t0e(t)dt+Tdde(t)dt](1)
假设控制周期为T，在控制器的采样时刻t=KT时，对积分和微分做如下近似：

⎧⎩⎨∫t0e(t)dt≈T∑kj=0e(jT)=T∑kj=0e(j)(2)de(t)dt≈e(kT)−e[(k−1)T]T=e(k)−e(k−1)T(3)

将（2）（3）式代入（1）式中可得：
u(t)=Kp[e(k)+TTi∑kj=0e(j)+TdT[e(k)−e(k−1)]]
即位置式PID调节器的数字表达式为：
u(t)=Kpe(k)+Ki∑kj=0e(j)+Kd[e(k)−e(k−1)](4)
其中：Ki=KpTTi ; Kd=KpTdT
令k=k-1，则得：
u(t−1)=Kpe(k−1)+Ki∑k−1j=0e(j)+Kd[e(k−1)−e(k−2)](5)
式（4）（5）相减得：

Δu(k)=u(k)−u(k−1)=Kp[e(k)−e(k−1)]+Ki[∑j=0ke(t)−∑j=0k−1e(t−1)]+Kd[e(k)−e(k−1)−e(k−1)+e(k−2)]=Kp[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+Kd[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]

上式即为增量式PID调节器的表达式

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数字PID控制的改进

积分改进算法有：积分分离PID控制、遇限削弱积分PID、不完全微分PID、微分先行PID控制。

1. 积分项的改进

积分分离PID算法
使用积分分离PID调节器的原因：
在过程启动、停车或者大幅度改变设定值时，执行机构进入饱和状态，结果产生系统输出的较大超调，甚至引起系统长时间振荡。
积分分离PID算法的基本思路：
在偏差e(k)J较大时，暂时取消积分作用；当偏差e(t)小于某个阈值时，才将积分作用引入。具体实现如下：

• 根据过程生产实际需要，设定一个阈值ε>0.
• 当|e(t)|>ε，也即偏差值|e(t)|较大时，采用PD控制，可避免大的超调，又是系统有较快的响应。
• 当|e(t)|≤ε，也即是偏差值|e(t)|较小时，采用PID控制或者PI控制，可保证系统的控制精度。
  位置式PID算式（4）的积分分离形式：
  u(t)=Kpe(k)+βKi∑kj=0e(j)+Kd[e(k)−e(k−1)]
  式中：
  β=
  
  ⎧⎩⎨10|e(t)|≤ε|e(t)|>ε
  
  当|e(t)|>ε；β=0,实施PD控制。
  PD控制算法为：
  u(t)=Kpe(k)+Kd[e(k)−e(k−1)]
  或者 u(t)=u(t−1)+Kp[e(k)−e(k−1)]+Kd[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]
  当|e(t)|≤ε；β=1,实施PID控制,控制器表达式如（4）式
  为了保证引入积分控制作用后系统的稳定性不变，在投入积分控制作用的同时，相应地减少比例增益Kp的值，另外，阈值的设置应根据控制所要求的性能来确定。

2 . 微分项的改进：

• 不完全微分PID控制算法：
  微分控制的特点归纳如下：
  1）：若e(t)为脉冲函数时，控制权仅在第一个周期有效。
  2）：Ud(k)的幅值一般较大(T<<Td)，容易造成以单片机为控制核心的数据溢出。
  3）：Ud(k)过大、过快的变化会对执行机构造成冲击，另外由于控制周期短，容易造成控制输出量的失真。
  克服上述的缺点的方法：
  一种方法是在输出PID输入后加入一个一阶惯性环节（低通滤波器）；该低通滤波器的传递函数为Gf(s)=1Tfs+1
  则可导出不完全微分PID控制算式为：
  u′(t)=Kp[e(t)+1Ti∫t0e(t)dt+Tdde(t)dt](6)
  Tfdu(t)dt+u(t)=u′(t)(7)
  将（6）式离散化得：
  u′(t)=Kp[e(k)+TTi∑kj=0e(j)+TdT[e(k)−e(k−1)]]
  将（7）式离散化得：
  u(t)=TTf+Tu′(t)+TfTf+Tu(t−1)
  令a=TfTf+T 可得不完全微分的位置式控制算式：
  u(t)=(1−a)u′(t)+au(t−1)
  式中：
  
  ⎧⎩⎨a=TfTf+Tu′(t)=Kp[e(k)+TTi∑kj=0e(j)+TdT[e(k)−e(k−1)]]
  
  增量式控制算法的表达式为：
  Δu(t)=(1−a)Δu′(t)+aΔu(t−1)
  式中：
  
  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=TfTf+TΔu′(t)=Kp[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+Kd[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]
  
  另一种方法是将低通滤波器(1Tfs+1)加在微分控制环节上，形成带惯性环节的微分控制，即
  Ud(s)=KpTdsE(s)Tfs+1
  其对应的微分方程为：
  Tfdud(t)dt+ud(t)=KpTdde(t)dt
  对上式离散化后得：
  Ud(k)=KpTdT[e(k)−e(k−1)]−TfT[Ud(k)−Ud(k−1)]
  整理得：
  Ud(k)=TfT+Tfe(k−1)−KpTdT+Tf[Ud(k)−Ud(k−1)]
  令a=TfT+Tf则可得：
  Ud(k)=ae(k−1)−Kd(1−a)[Ud(k)−Ud(k−1)]
  则该不完全微分控制器的位置式PID表达式为：
  u(t)=Kpe(k)+Ki∑kj=0e(j)+aUd(k−1)+Kd(1−a)[e(k)−e(k−1)]
  式中a=TfT+Tf
  增量式PID控制器的表达式为：
  Δu(t)=Kp[e(k)−e(k−1)]+Kie(k)+a[Ud(k−1)−Ud(k−2)]+Kd(1−a)[e(k)−2e(k−1)+e(k−1)]

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PID控制参数的工程整定方法
数字PID控制参数的整定过程是，先用模拟PID控制参数整定的方法来选择，然后考虑采样周期对整定参数的影响，再做适当的调整。模拟PID控制参数的整定方法有：扩充临界比例法、扩充响应曲线法、归一参数整定法、凑试法确定PID参数。
其中归一参数整定法的整定过程如下：
假设有增量式PID的表达式为：
Δu(k)=Kp[e(k)−e(k−1)+TTie(k)+TdT[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]]（8）
在PID控制中，要整定四个参数T、Ti、Td，为了减少在线整定参数的数目，根据大量的实验经验的总结，设定了一些约束条件，以减少独立变量的个数，继而减少机器运算量。
例如取值：
T≈0.1Tr、Ti≈0.5Tr、Td≈0.125Tr（9）
其中Tr为纯比例控制时临界振荡时的振荡周期。
将（9）式代入（8）得：
Δu(k)=Kp[2.45e(k)−3.5e(k−1)+1.25e(k−2)]