树：伸展树

我们知道AVL树为了保持严格的平衡，所以在数据插入上会呈现过多的旋转，影响了插入和删除的性能，此时AVL的一个变种，伸展树（Splay）就应运而生了，我们知道万事万物都遵循一个“八二原则“，也就是说80%的人只会用到20%的数据，比如说我们的“xx输入法”，平常打的字也就那么多，或许还没有20%呢。

在伸展树上的一般操作都基于伸展操作：假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作，为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法， 在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。

已知重构方法与伸展树的重构方法

先前，已经存在两种重构方法：

1、单旋：在查找完位于节点x中的条目i之后，旋转链接x和其父节点的边。（除非x就是树根）

2、搬移至树根：在查找完位于节点x中的条目i之后，旋转链接x和其父节点的边，然后重复这个操作直至x成为树根。

splay tree的重构方法和搬移至树根的方法相似，它也会沿着查找路径做自底向上的旋转，将被查找条目移至树根。但不同的是，它的旋转是成对进行的，顺序取决于查找路径的结构。为了在节点x处对树进行splay操作，我们需要重复下面的步骤，直至x成为树根为止：

1、第一种情况：如果x的父节点p(x)是树根，则旋转连接x和p(x)的边。（这种情况是最后一步）

2、第二种情况：如果p(x)不是树根，而且x和p(x)本身都是左孩子或者都是右孩子，则先旋转连接p(x)和x的祖父节点g(x)的边，然后再旋转连接x和p(x)的边。

3、第三种情况：如果p(x)不是树根，而且x是左孩子，p(x)是右孩子，或者相反，则先旋转连接x和p(x)的边，再旋转连接x和新的p(x)的边。

在节点x处进行splay操作的时间是和查找x所需的时间成比例的。splay操作不单是把x搬移到了树根，而且还把查找路径上的每个节点的深度都大致减掉了一半。

伸展树的优势

可靠的性能——它的平均效率不输于其他平衡树。

存储所需的内存少——伸展树无需记录额外的什么值来维护树的信息，相对于其他平衡树，内存占用要小。

由于Splay Tree仅仅是不断调整，并没有引入额外的标记，因而树结构与标准红黑树没有任何不同，从空间角度来看，它比Treap、SBT、AVL要高效得多。因为结构不变，因此只要是通过左旋和右旋进行的操作对Splay Tree性质都没有丝毫影响，因而它也提供了BST中最丰富的功能，包括快速的拆分和合并，并且实现极为便捷。这一点是其它结构较难实现的。其时间效率也相当稳定，和Treap基本相当，常数较高。

伸展树的缺点

伸展树最显著的缺点是它有可能会变成一条链。这种情况可能发生在以非降顺序访问n个元素之后。然而均摊的最坏情况是对数级的——O(logn)

参考：

http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/08/04/2623455.html

http://baike.baidu.com/link?url=HPLz0KKZv3zqYom5uJ_Lxmmzbfx6EDSyR9NjOh_EJOhf3k145NgrHyjp0nQW9y4NiEDp4_s2tMH4HCDWEJlasK