2 的 n 次幂

0. 基本性质

• （1）拆分

  2n=2⋅2n−1=2n−1+2n−1
  2n=4⋅2n−2=2n−1+2⋅2n−2=2n−1+2n−2+2n−2

1. 一些应用

证明或推翻：

a3+b4=c5

没有正整数解。

证：因为：

224+224=225⇒(28)3+(26)4=(25)5

因此，原命题是错误的。

2. 求和

1111=1⋅20+1⋅21+1⋅22+1⋅23=⋅20+⋅21+⋅22+⋅23=24−1

也即：

111…1=20+21+⋯+2n−1=2n−1