最小路径覆盖_zoj1525_最小路径覆盖+水

题目大意

  定义：一个不含圈的有向图G中，G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束，且长度也为任意值，包括0。请你求任意一个不含圈的有向图G的最小路径覆盖数。

 

分析

  设所求路径条数为p，所有路径所包含边总数为e，则易得p=n-e（定理1或证明1），要求最小的p就是求最大的e（即使得路径末尾的点数最少）。

  现在问题在于如何求最大的e：我们将有向图转化为无向图，有向图的每个点拆成X集i和Y集i'，接下来：

    1.若图中存在点i—>j，则二分图中i与i'相连

    2.求最大匹配m(e)

    3.ans=n-m

  应用很多，比如导弹拦截。

 

  定理1：

  每一条覆盖路径的边数=覆盖点数-1（即减去了路径末尾的那个顶点）

 

  证明1：

  一开始覆盖N个节点的是N条路径，设每个路径为一个集合，则每添加一条边，就合并两个集合（因为是无环图，所以集合内的节点不会互相连接），所以边越多，则集合越少，所以最小路径覆盖仅适合添加一条边能够合并两条路径的题目。

 

代码

type  arr=record    x,y,w:longint;    next:longint;end;var  a:array[1..10000] of arr;  v:array[1..30000] of boolean;  st,ls:array[1..30000] of longint;  i,j:longint;  n,m,nm:longint;  k:char;  t,t1:longint;function find(r:longint):boolean;var  i,j,k:longint;begin  find:=true;  i:=ls[r];  while i<>0 do    begin      with a[i] do        if not v[y]          then            begin              k:=st[y]; st[y]:=r; v[y]:=true;              if (k=0) or find(k) then exit;              st[y]:=k;            end;      i:=a[i].next;    end;  find:=false;end;procedure main;var  i,j,k:longint;  z:boolean;begin  for i:=1 to n do    begin      fillchar(v,sizeof(v),0);      z:=find(i);    end;end;begin  readln(t);  for t1:=1 to t do begin  readln(n);  readln(m);  nm:=0;  fillchar(st,sizeof(st),0);  fillchar(ls,sizeof(ls),0);  for i:=1 to m do    begin      nm:=nm+1;      with a[nm] do            begin              readln(x,y);              next:=ls[x];              ls[x]:=nm;            end;    end;  main;  j:=0;  for i:=1 to n do    if st[i]<>0 then j:=j+1;  writeln(n-j);  end;end.