Multi-University 2015 #6 E（hdu 5357 Easy Sequence）

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E - Easy Sequence

Time Limit:1000MS Memory Limit:131072KB

Description

soda has a string containing only two characters – ‘(’ and ‘)’. For every character in the string, soda wants to know the number of valid substrings which contain that character.
Note:
An empty string is valid. If S is valid, (S) is valid. If U,V are valid, UV is valid.

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T, indicating the number of test cases. For each test case:
A string s consisting of ‘(’ or ‘)’ (1≤|s|≤106).

Output

For each test case, output an integer m=∑i=1|s|(i⋅ansi mod 1000000007), where ansi is the number of valid substrings which contain i-th character.

Sample Input

2
()()
((()))

Sample Output

20
42

Hint

For the second case, ans={1,2,3,3,2,1},
then m=1⋅1+2⋅2+3⋅3+4⋅3+5⋅2+6⋅1=42

题目大意

给定一个括号序列，令ans[i]表示包含第i个字符的合法的字符串个数。
求

∑i=1|s|(i⋅ansi mod 1000000007)

题解

对于一个合法的括号串，都可以化成这样的形式(...)(...)(...).
定义ai表示从i开始的合法字符串的个数，bi表示以i为结尾的合法字符串的个数。
当然，a仅对str[i]==’(‘时有效，b仅对str[i]==’)’。
于是ai=amatch[i]+1+1，对于这个表达式，可以这样理解：一个左括号，它的匹配的右边只能有两种情况：左括号，右括号。
这样就代表了两种情况：
里面的两个匹配的括号被外面的包含在内，((...))
后面是一个独立的匹配括号。(...)(...)
对于第一种情况，a[i]当然是1，而由于match[i]+1是’)’所以amatch[i]+1肯定为零。
而对于第二种情况，ai就是在amatch[i]+1的基础上再加上自己这个。
b的推导也与此类似。
从这个推导式可以看出来，a数组需要倒着求，b数组需要正着求。
再考虑如何求出ansi，ansi=ansmatch[i]=ansup[i]+ai∗bi
其中upi表示包含i的最小匹配括号的左端点的下标。
对于这个表达式，可以这样理解：以a开头的合法串有ai种取法，b结尾的合法串有bi种取法，由乘法原理，可以知道不同的取法总共ai∗bi种。
这题非常坑的一点就是这个取模是在Σ内部的，外部是不取模的，所以外面用long long存。
对于match，up这些数组，可以用一个栈来算出，值得注意的是，计算up的时候，要先判这个左括号是不是有匹配的右括号，有才会计算up再塞入栈中。
复杂度为O(n)。

#include<cstdio>#include<cstring>const int M=1000005;const int mod=1e9+7;typedef long long ll;int match[M],stk[M],up[M],a[M],b[M],ans[M];char str[M];void solve(){    scanf("%s",str+1);    int len=strlen(str+1),top=0;    for(int i=0;i<=len+1;i++)        up[i]=a[i]=b[i]=ans[i]=match[i]=0;    for(int i=1;i<=len;i++){        if(str[i]=='('){            stk[++top]=i;        }else if(top){            match[match[stk[top]]=i]=stk[top];            top--;        }    }    for(int i=len;i>=1;i--)        if(str[i]=='('&&match[i]) a[i]=a[match[i]+1]+1;    for(int i=1;i<=len;i++)        if(str[i]==')'&&match[i]) b[i]=b[match[i]-1]+1;    top=0;    for(int i=1;i<=len;i++){        if(str[i]=='('&&match[i]){            while(top&&match[stk[top]]<match[i]) top--;            up[i]=stk[top];            stk[++top]=i;        }    }    for(int i=1;i<=len;i++)        if(str[i]=='(') ans[i]=ans[match[i]]=(ans[up[i]]+a[i]*1LL*b[match[i]])%mod;    ll sum=0;    for(int i=1;i<=len;i++)        sum=sum+1LL*i*ans[i]%mod;    printf("%lld\n",sum);}int main(){    int cas;    scanf("%d",&cas);    while(cas--) solve();    return 0;}