平方数的研究

• 一个小智力题：

  1-9 之间的 9 个数字组合成 4 个数字，每一个都是一个数的平方，每个数字都只能用一次。

  81,9,324,576

• 一个完全平方数（n2）的个位数字只能是：
  0、1、4、5、6、9

  一个数的平方的二倍（2n2）的个位数字：
  0, 2, 8,

1. 基本性质

1.1 奇数个因子

除完全平方数外，一般的整数的因子都是偶数个（包括 1 和它自身）。

道理是显然的，因子一般是成对出现的，只有当该数是完全平方数时，其二次方根只有孤单的一个。

2. 典型计算

100 以内的完全平方数：102=100，共 10 个（1、2、3、4、5、6、7、8、9、10）

500-1000 内的完全平方数：500−−−√<23,1000−−−−√<32，所以共有，23、24、25、26、27、28、29、30、31

2. 解析几何：平方数 == 正方形的面积

自然任意两个不同的自然数相乘是一个矩形的面积。

• 1 表示 1 个小方块
• 3 表示 3 个小方块
• …

1+3=221+3+5=321+3+5+7=42…

也即从 1 开始，n 个连续奇数之和恰好是 n 的平方；

当然也可由中央（2×2=4）向四周发展：

4+12=424+12+20=624+12+20+28=824+12+20+28+36=102…

从中央向四周发散，每次新添加的方块数为上一次边长 a 的 4 倍加 4 ，也即 4a+4。

如果从 1 个方块向四周发散，

1+8=321+8+16=521+8+16+24=721+8+16+24+32=92…

仍然是新添加的项 4a+4