017-Prim算法-贪心-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记

基本思路：

定义结点集合U, V (U表示已经选择加入MST的结点集合,V表示未选)

1. 任选一个结点加入U

2. 选择一条边权最小的边，他的两个结点分别属于U, V，并把属于V的那个结点加入U

3. 重复执行2直到V空

 

伪代码：

 

C++代码：

int g[mnx][mnx];int n, m;int d[mnx];// 朴素 prim, 复杂度O(|V|^2) |V|:点数， |E|:边数int prim() {memset(d, 0x3f, sizeof d); //初始化int ret = d[1] = 0;  // 先把d[1]弄成0for(int i = 1; i <= n; ++i) {int u = -1;for(int j = 1; j <= n; ++j)   //找到d[u]最小的一个uif((u == -1 || d[u] > d[j]) && d[j] != -1)u = j;ret += d[u];d[u] = -1;for(int j = 1; j <= n; ++j)  // 更新和u邻接的节点的d[j]值d[j] = min(d[j], g[u][j]);}return ret;}

 

算法分析：

主要耗费在查找边权最小的边，这一步的二重循环耗费Θ(n²)，所以算法的时间复杂度为Θ(n²)。

 

堆优化改进：

我们用小顶堆来完成查找最小边，和Dijkstra算法一样，算法共进行了n-1次插入、n-1次删除、m-n+1次Siftup运算。总的时间复杂度为O（mlogn）。

 

伪代码：

 

 

 

C++代码：

int fst[mnx], nxt[mxe], cost[mxe], to[mxe], e;void init() {memset(fst, -1, sizeof fst);e = 0;}void add(int u, int v, int c) {to[e] = v, nxt[e] = fst[u], cost[e] = c, fst[u] = e++;}struct node {int u, dis;node(int u, int dis):u(u), dis(dis) {}bool operator < (const node &b) const {return dis > b.dis;}};//堆优化， 复杂度O(|E|log|V|), 稠密图时比较慢int primHeap() {memset(d, 0x3f, sizeof d);d[1] = 0;priority_queue<node> q;q.push(node(1,0)); // 先选定第一个节点int ret = 0;while(!q.empty()) {int u = q.top().u;int dd = q.top().dis;q.pop();if(d[u] != dd) continue; // 如果是被更新之前的值的话就不取， continue掉ret += dd;d[u] = -1;for(int j = fst[u]; ~j; j = nxt[j]) {int v = to[j], c = cost[j]; // 更新if(d[v] > c && d[v] != -1) {d[v] = c;q.push(node(v, c));}}}return ret;}