归并排序及其时间复杂度分析

本文转载自归并排序及其时间复杂度分析
归并排序的步骤如下：
Divide:把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。
Conquer:对这两个子序列分别采用归并排序。      
Combine:将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

这是一个递推公式，我们需要消去等号右侧的T(n)，把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c1，当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c2n，取c1和c2中较大的一个设为c，把原来的公式改为下面的形式。

这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2，然后再把T(n/4)进一步展开，直到最后全部变成T(1)=c。


把图中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是cn，共有lgn+1层，因此总的执行时间是cnlgn+cn，相比nlgn来说，cn项可以忽略，因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。取c1和c2中较小的一个设为c，计算出的结果应该是T(n)的下界，推导过程一样，结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn)，显然T(n)就是Θ(nlgn)。