计蒜客 微软项目经理的挑选方案

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题目大意

给定n个互不相同的闭区间[li,ri],现在从中选出一些区间,满足对于任意未选出的区间,都有至少一个选出的区间与其有交集,求可能的方案数,对109+7取模.

1≤n≤2×105,1≤li<ri≤109.

题解

解题的方向肯定是先给区间排个序然后考虑dp.

我们将区间按左端点为第一关键词,右端点为第二关键词从小到大排序.

设第i个区间(1≤i≤n)能支配的区间的极大区间是[L[i],R[i]],满足i∈[L[i],R[i]],且这个区间内的所有区间都与区间i有交集.
为什么叫”支配”呢?
因为如果选了区间i,那么它所支配的区间都可以不选了.
那么我们的目标就变成了需要每个区间都被所选的区间支配到.

似乎有点问题?
请看下面的手绘渣图:

这样区间i往左边应该只能支配到i本身,但是如果选择了i,区间i−2也是可以不选的.
然鹅因为最终区间i−1也要被支配到,而这样区间i−2也会”顺便”被支配到,所以看作区间i无法支配到区间i−2也不会有影响.

关于如何求每个L[i],R[i],我们可以转化为求区间i两侧最近的不能被i支配的区间.
为了防止下标越界,不妨在首尾加入两个区间[0,0]和[∞,∞].
由于是按左端点排序,所以所有区间满足左端点单调递增,于是可以二分求R[i].
而左边是求最大的下标j,使得区间j的右端点小于区间i的左端点,这个东西是单调递增的,可以用单调队列求解(当然也有线性的方法).

经过上面的分析,这个题目其实已经可以抛掉给出的区间不管了,完全转化成了序列上的dp问题.
接下来把原来的区间都看作点好了.

由于某种不可抗力,我们需要倒着dp(下面会解释原因).
令dp[i][j]表示考虑是否选编号为i~n的点,最后一个未被支配的点为j的方案数.
这样的状态定义是充分的,因为倒着来的话L[i]是单调递减的,那么如果选择当前的i点并且支配了最后一个未被支配的点j,此时最后一个未被支配的点就变为了L[i]−1,可以完成状态转移.
而如果正着来,就利用不了这个单调性,也就不好进行状态转移了(官方题解中是一开始把区间按右端点当做第一关键词排序然后正着dp的,道理是一样的).

显然第一维i是可以去掉的.
dp的初始状态为dp[n]=1,要求的答案为dp[0].
容易写出状态转移方程:

dp[j]={2⋅dp[j]2⋅dp[j]+∑R[i]k=L[i]dp[k]R[i]<j≤nj=L[i]−1

然后用线段树优化就可以了.

总的时间复杂度是O(nlgn).

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补:后来发现其实转化后的问题就是选出一些区间覆盖所有的点,重新给区间排序也不会有影响.

代码

注:其实deque是系统关键词,比较危险,请不要学我…

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cassert>#include<algorithm>#define lowbit(x) (x&-x);#define fi first#define se secondusing namespace std;typedef pair<int,int> pii;const int N=(int)2e5+5,mod=(int)1e9+7,INF=0x7fffffff;int n,L[N],R[N],deque[N],pow_2[N];pii itv[N];struct Segment_Tree{    #define lson (k<<1)    #define rson (k<<1|1)    struct Node{        int L,R,Lsh_cnt,sum;    }tree[N<<2];    void build(int L=0,int R=n,int k=1){        tree[k].L=L;        tree[k].R=R;        tree[k].Lsh_cnt=0;        tree[k].sum=R==n;        if(L==R)return;        int mid=L+R>>1;        build(L,mid,lson);        build(mid+1,R,rson);    }    inline void push_up(int k){        if((tree[k].sum=tree[lson].sum+tree[rson].sum)>=mod)            tree[k].sum-=mod;    }    inline void mod_Lsh(int &num,int cnt){        num=1ll*num*pow_2[cnt]%mod;    }    void push_down(int k){        if(!tree[k].Lsh_cnt)return;        mod_Lsh(tree[lson].sum,tree[k].Lsh_cnt);        mod_Lsh(tree[rson].sum,tree[k].Lsh_cnt);        tree[lson].Lsh_cnt+=tree[k].Lsh_cnt;        tree[rson].Lsh_cnt+=tree[k].Lsh_cnt;        tree[k].Lsh_cnt=0;    }    int query_sum(int L,int R,int k=1){        if(tree[k].L==L&&tree[k].R==R)            return tree[k].sum;        push_down(k);        int mid=tree[k].L+tree[k].R>>1;        if(R<=mid)return query_sum(L,R,lson);        if(L>mid)return query_sum(L,R,rson);        int res=query_sum(L,mid,lson)+query_sum(mid+1,R,rson);        if(res>=mod)res-=mod;        return res;    }    void modify(int tar,int val,int k=1){        if(tree[k].L==tree[k].R){            tree[k].sum=val;            return;        }        push_down(k);        int mid=tree[k].L+tree[k].R>>1;        if(tar<=mid)modify(tar,val,lson);        else modify(tar,val,rson);        push_up(k);    }    void Lsh(int L,int R,int k=1){        if(tree[k].L==L&&tree[k].R==R){            mod_Lsh(tree[k].sum,1);            ++tree[k].Lsh_cnt;            return;        }        push_down(k);        int mid=tree[k].L+tree[k].R>>1;        if(R<=mid)Lsh(L,R,lson);        else if(L>mid)Lsh(L,R,rson);        else{            Lsh(L,mid,lson);            Lsh(mid+1,R,rson);        }        push_up(k);    }}T;void rd(int &res){    res=0;    char c;    while(c=getchar(),c<48);    do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);        while(c=getchar(),c>47);}void init(){    itv[n]=pii(0,0);    itv[n+1]=pii(INF,INF);    sort(itv,itv+n+2);    int head=0,tail=0;    deque[tail++]=0;    for(int i=1;i<=n;++i){        for(int bin_L=i+1,bin_R=n+1;bin_L<=bin_R;){            int mid=bin_L+bin_R>>1;            if(itv[mid].fi>itv[i].se){                R[i]=mid-1;                bin_R=mid-1;            }            else bin_L=mid+1;        }        int bin_L=head,bin_R=tail-1,res;        while(bin_L<=bin_R){            int mid=bin_L+bin_R>>1;            if(itv[deque[mid]].se<itv[i].fi){                res=mid;                bin_L=mid+1;            }            else bin_R=mid-1;        }        L[i]=deque[res]+1;        head=res;        while(head<tail&&itv[deque[tail-1]].se>=itv[i].se)--tail;        deque[tail++]=i;    }    pow_2[0]=1;    for(int i=1;i<=n;++i)        if((pow_2[i]=pow_2[i-1]<<1)>=mod)pow_2[i]-=mod;}int main(){    rd(n);    for(int i=0;i<n;++i){        rd(itv[i].fi);        rd(itv[i].se);    }    init();    T.build();    for(int i=n;i;--i){        if(R[i]<n)T.Lsh(R[i]+1,n);        T.modify(L[i]-1,(1ll*T.query_sum(L[i],R[i])+(T.query_sum(L[i]-1,L[i]-1)<<1))%mod);    }    printf("%d\n",T.query_sum(0,0));    return 0;}