图像的膨胀与腐蚀、细化

原理：在特殊领域运算形式——结构元素（Sturcture Element），在每个像素位置上与二值图像对应的区域进行特定的逻辑运算。运算结构是输出图像的相应像素。运算效果取决于结构元素大小内容以及逻辑运算性质。

结构元素：膨胀和腐蚀操作的最基本组成部分，用于测试输出图像，通常要比待处理的图像小还很多。二维平面结构元素由一个数值为0或1的矩阵组成。结构元素的原点指定了图像中需要处理的像素范围，结构元素中数值为1的点决定结构元素的邻域像素在进行膨胀或腐蚀操作时是否需要参与计算。

先来定义一些基本符号和关系。

1.         元素

设有一幅图象X，若点a在X的区域以内，则称a为X的元素，记作a∈X，如图6.1所示。

2.         B包含于X

设有两幅图象B，X。对于B中所有的元素ai，都有ai∈X，则称B包含于(included in)X，记作B  X，如图6.2所示。

3.         B击中X

设有两幅图象B，X。若存在这样一个点，它即是B的元素，又是X的元素，则称B击中(hit)X，记作B↑X，如图6.3所示。

4.         B不击中X

设有两幅图象B，X。若不存在任何一个点，它即是B的元素，又是X的元素，即B和X的交集是空，则称B不击中(miss)X，记作B∩X=Ф；其中∩是集合运算相交的符号，Ф表示空集。如图6.4所示。

图6.1     元素

图6.2     包含

图6.3     击中

图6.4     不击中

5.         补集

设有一幅图象X，所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集，记作X^c，如图6.5所示。显然，如果B∩X=Ф，则B在X的补集内，即B  X^c。

图6.5     补集的示意图

6.         结构元素

设有两幅图象B，X。若X是被处理的对象，而B是用来处理X的，则称B为结构元素(structure element)，又被形象地称做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图象。

7.         对称集

设有一幅图象B，将B中所有元素的坐标取反，即令(x，y)变成(-x，-y)，所有这些点构成的新的集合称为B的对称集，记作B^v，如图6.6所示。

8.         平移

设有一幅图象B，有一个点a(x₀,y₀)，将B平移a后的结果是，把B中所有元素的横坐标加x₀，纵坐标加y₀，即令(x，y)变成(x+x₀，y+y₀)，所有这些点构成的新的集合称为B的平移，记作B_a，如图6.7所示。

图6.6     对称集的示意图

图6.7     平移的示意图

好了，介绍了这么多基本符号和关系，现在让我们应用这些符号和关系，看一下形态学的基本运算。

6.1 腐蚀

把结构元素B平移a后得到B_a，若B_a包含于X，我们记下这个a点，所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B腐蚀(Erosion)的结果。用公式表示为：E(X)={a| B_a  X}=X B，如图6.8所示。

图6.8     腐蚀的示意图

图6.8中X是被处理的对象，B是结构元素。不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，B_a 包含于X，所以X被B腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因。

值得注意的是，上面的B是对称的，即B的对称集B^v=B，所以X被B腐蚀的结果和X被 B^v腐蚀的结果是一样的。如果B不是对称的，让我们看看图6.9，就会发现X被B腐蚀的结果和X被 B^v腐蚀的结果不同。

图6.9     结构元素非对称时，腐蚀的结果不同

图6.8和图6.9都是示意图，让我们来看看实际上是怎样进行腐蚀运算的。

在图6.10中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B，那个标有origin的点是中心点，即当前处理元素的位置，我们在介绍模板操作时也有过类似的概念。腐蚀的方法是，拿B的中心点和X上的点一个一个地对比，如果B上的所有点都在X的范围内，则该点保留，否则将该点去掉；右边是腐蚀后的结果。可以看出，它仍在原来X的范围内，且比X包含的点要少，就象X被腐蚀掉了一层。

图6.10   腐蚀运算

图6.11为原图，图6.12为腐蚀后的结果图，能够很明显地看出腐蚀的效果。

图6.11    原图

图6.12   腐蚀后的结果图

下面的这段程序，实现了上述的腐蚀运算，针对的都是黑色点。参数中有一个BOOL变量，为真时，表示在水平方向进行腐蚀运算，即结构元素B为  ；否则在垂直方向上进行腐蚀运算，即结构元素B为  。

膨胀

膨胀(dilation)可以看做是腐蚀的对偶运算，其定义是：把结构元素B平移a后得到B_a，若B_a击中X，我们记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为：D(X)={a | Ba↑X}=X  B，如图6.13所示。图6.13中X是被处理的对象，B是结构元素，不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，B_a击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的，这就是为什么叫膨胀的原因。

同样，如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X被 B^v膨胀的结果不同。

让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。在图6.14中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，中间是结构元素B。膨胀的方法是，拿B的中心点和X上的点及X周围的点一个一个地对，如果B上有一个点落在X的范围内，则该点就为黑；右边是膨胀后的结果。可以看出，它包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的。

图6.13   膨胀的示意图

图6.14   膨胀运算

图6.15为图6.11膨胀后的结果图，能够很明显的看出膨胀的效果。

图6.15   图6.11膨胀后的结果图

下面的这段程序，实现了上述的膨胀运算，针对的都是黑色点。参数中有一个BOOL变量，为真时，表示在水平方向进行膨胀运算，即结构元素B为  ；否则在垂直方向上进行膨胀运算，即结构元素B为  。

腐蚀运算和膨胀运算互为对偶的，用公式表示为(X  B)^c=(X^c  B)，即X 被B腐蚀后的补集等于X的补集被B膨胀。这句话可以形象的理解为：河岸的补集为河面，河岸的腐蚀等价于河面的膨胀。你可以自己举个例子来验证一下这个关系。在有些情况下，这个对偶关系是非常有用的。例如：某个图象处理系统用硬件实现了腐蚀运算，那么不必再另搞一套膨胀的硬件，直接利用该对偶就可以实现了。

开

先腐蚀后膨胀称为开(open)，即OPEN(X)=D(E(X))。

让我们来看一个开运算的例子(见图6.16)：

图6.16开运算

在图16上面的两幅图中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，右边是结构元素B，下面的两幅图中左边是腐蚀后的结果；右边是在此基础上膨胀的结果。可以看到，原图经过开运算后，一些孤立的小点被去掉了。一般来说，开运算能够去除孤立的小点，毛刺和小桥(即连通两块区域的小点)，而总的位置和形状不变。这就是开运算的作用。要注意的是，如果B是非对称的，进行开运算时要用B的对称集B^v膨胀，否则，开运算的结果和原图相比要发生平移。图6.17和图6.18能够说明这个问题。

图6.17 用B膨胀后，结果向左平移了

图6.18   用B^v膨胀后位置不变

图6.17是用B膨胀的，可以看到，OPEN(X)向左平移了。图18是用B^v膨胀的，可以看到，总的位置和形状不变。

图6.19为图6.11经过开运算后的结果。

图6.19   图6.11经过开运算后的结果

开运算的源程序可以很容易的根据上面的腐蚀，膨胀程序得到，这里就不给出了。

闭

先膨胀后腐蚀称为闭(close)，即CLOSE(X)=E(D(X))。

让我们来看一个闭运算的例子(见图6.20)：

图6.20   闭运算

在图6.20上面的两幅图中，左边是被处理的图象X(二值图象，我们针对的是黑点)，右边是结构元素B，下面的两幅图中左边是膨胀后的结果，右边是在此基础上腐蚀的结果可以看到，原图经过闭运算后，断裂的地方被弥合了。一般来说，闭运算能够填平小湖(即小孔)，弥合小裂缝，而总的位置和形状不变。这就是闭运算的作用。同样要注意的是，如果B是非对称的，进行闭运算时要用B的对称集B^v膨胀，否则，闭运算的结果和原图相比要发生平移。

图6.21为图6.11经过闭运算后的结果。

图6.21   图.611经过闭运算后的结果

细化
图像细化一般作为一种图像预处理技术出现，目的是提取源图像的骨架，即是将原图像中线条宽度大于1个像素的线条细化成只有一个像素宽，形成“骨架”，形成骨架后能比较容易的分析图像，如提取图像的特征。
细化基本思想是“层层剥夺”，即从线条边缘开始一层一层向里剥夺，直到线条剩下一个像素的为止。图像细化大大地压缩了原始图像地数据量，并保持其形状的基本拓扑结构不变，从而为文字识别中的特征抽取等应用奠定了基础。细化算法应满足以下条件：
① 将条形区域变成一条薄线；
② 薄线应位与原条形区域的中心；
③ 薄线应保持原图像的拓扑特性。
细化分成串行细化和并行细化，串行细化即是一边检测满足细化条件的点，一边删除细化点；并行细化即是检测细化点的时候不进行点的删除只进行标记，而在检测完整幅图像后一次性去除要细化的点。
常用的图像细化算法有hilditch算法，pavlidis算法和rosenfeld算法等。
注：进行细化算法前要先对图像进行二值化,即图像中只包含“黑”和“白”两种颜色。