经典面试题-约瑟夫环

题目描述：

0, 1, …, n - 1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

输入：

每组数据一行,包含2个整数n和m，分别表示0 到 n - 1 的序列和指定删除的第m个数字。

输出：

输出能保留到最后的那个数字。

样例输入：

5 3

样例输出：

3

思路分析：

• 除了暴力破解其实还有一种方法就是找到n个数字和n-1个数字的之间的关系，利用动态规划的思想来解决
• 1）对于n个数组成的序列，第一次被删除的数为：(m - 1) % n。
  （2）假设第二轮删除时，初始数字为m % n。令k = m % n，则对于剩下的n - 1个数构成的约瑟夫环为：k, k + 1, k + 2, k +3, …..,k - 3, k - 2。做一个映射如下：

k ——> 0
k+1 ——> 1
k+2 ——> 2
…
…
k-2 ——> n-2

也就是说，n - 1个数中的一个数k，对应n个数时的下标为0。因此，设n - 1个序列最终留到最后的数为x，利用映射关系逆推，可得出n个数时，留到最后的数为：(x + k) % n。则有：

(x + k) % n
= (x + (m % n)) % n
= (x % n + (m % n) % n) % n
= (x % n + m % n) % n
= (x + m) % n

（3）类似的，现在考虑第二个被删除的数：(m - 1) % (n - 1)。
（4）假设第三轮的开始数字为p，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为p, p + 1, p + 2,…, p - 3, p - 2。同样得到如下映射：

p ——> 0
p+1 ——> 1
p+2 ——> 2
…
…
p-2 ——> n-3

也就是说，n - 2个数中的一个数p，对应n - 1个数时的下标为0。设n - 2个序列最终留到最后的数为y，利用映射关系逆推，可得出n - 1个数时，留到最后的数为：(y + p) % (n - 1)，其中p等于m % (n - 1)。代入可得：(y + m) % (n - 1)。

由以上内容得知，要求得n个数的序列最后留下的值，可通过n - 1个数的解来求得。递推下去，当只有一个人时，最后一个数字是0。

综上所述，得到以下递推式：

f[1] = 0; f[i] = (f[i -1] + m) % i;

代码：

//n是代表n个数字，m是第每个出队    public static int getJosePhus(int n,int m){        int all = 0;        if(n < 1||m < 1){            return -1;        }        for(int i = 2;i <= n;i++){            all = (all + m) % n;        }        return all;    }

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参考：
http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6628491