Catalan 数的应用

Wikipedia上的Catalan numbers:

In combinatorial mathematics, the Catalan numbers form a sequence of natural numbers that occur in various counting problems, often involving recursively defined objects. They are named for the Belgian mathematician Eugène Charles Catalan (1814–1894).

The n^th Catalan number is given directly in terms of binomial coefficients by

The first Catalan numbers (sequence A000108 in OEIS) for n = 0, 1, 2, 3, … are

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

1.括号化问题。

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(Cn-1 种)                              

多重幂计数问题： 设给定n个变量x1,x2…,xn。将这些变量依序作底和各层幂，可得n重幂如下

这里将上述n 重幂看作是不确定的，当在其中加入适当的括号后，才能成为一个确定的n重幂。不同的加括号方式导致不同的n重幂。例如，当n=4 时，全部4重幂有5个。http://blog.csdn.net/fisher_jiang/archive/2008/05/26/2483290.aspx

2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 可参考《栈的计数》问题的算法分析  之算法三。

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

在一个n个顶点的凸多边形中，插入对角线（对角线两两不相交）将多边形划分为三角形。
总共需要n-3条弦，将多边形切成n-2个小三角形。

设凸多边形n个顶点顺序为p[1],p[2],……,p[n]，
它有n条边： <p[1]p[2]>, <p[2]p[3]>,……, <p[n-1]p[n]>, <p[n]p[1]>。
按顶点编号顺序，将其中的n-1条边写成下面这个序列：
<p[1]p[2]> <p[2]p[3]> <p[3]p[4]>…… <p[n-1]p[n]>，
则多边形的三角划分和这个序列的全括号化存在着一一对应的关系。
以五边形为例：


选定多边形的一条边 <p[1]p[n]>为基边，无论怎样分区域，基边总能在分成的三角形区域中的一个中。
该三角形区域又将凸多边形区域分成三个部分

令函数f(n)来表示n+1个顶点的多边形划分出的小三角数量，并规定f(1)=1，
根据划分点的选取过程可以看出，递推关系满足下列式子
f(n)=f(1)*f(n-1)+f(2)*f(n-2)+……+f(n-1)*f(1)，这里n>=2
用递归的法子模拟上述过程，就能够输出全部的划分。
f(n)=C(2n-2,n-1)/n

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数（有2n个人围着圆桌就坐，手臂不相及的握手的方法数是Catalan数Cn）

4.节点数为n的二叉树的个数为Cn,此问题等价于已知一棵树(n个节点)的前序遍历的顺序是1，2，3，4，。。。n, 中序遍历的个数。