Catalan数的一些应用

Catalan数：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;
还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1
该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) = P(2n,n)/(n+1)! = (2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)


前几项为：
0：1,
1：1,
2：2, 
3：5, 
4：14, 
5：42, 
6：132, 
7：429, 
8：1430,
9：4862, 
10：16796, 
11：58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …


应用有许多：
1，标准二维表问题
设 n 是一个正整数, 2*n 的标准二维表是由正整数 1, 2, ..., 2*n 组成的2*n 数组, 该数组的每行从左到右递增, 每列从上到下递增. 2*n 的标准二维表全体记为 Tab(n). 譬如: 当 n = 3 时 Tab(3) 如下: 
123   124   125  134  135
456   356   346  256  246


2，乘法的次序可能数
矩阵链乘： P=a0×a1×a2×a3×……×an，共有（n+1）项，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)


3，出栈顺序次数问题
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?


下面的代码是出栈顺序问题的求解，
输入n，则输出所有进出栈顺序的可能，使用了回溯法。
如输入2：
则输出：
1：+ + - -
2：+ - + -
其中 + 代表进栈， -代表出栈

// StackSquence.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <string>#include <vector>//#include <stack>using namespace std;int num=0; //当前栈中元素个数int numOfIn=0; //进栈次数//string path=""; //当前路径int n = 6;int k=0;vector<string> path;void backtrack( int i ){if( i> 2*n) {cout << ++k <<":  ";for( int j=0; j<2*n; j++)cout << path[j];cout << endl;return;}//进栈子节点if( numOfIn < n ){path.push_back("+  ");numOfIn++;num++;backtrack(i+1);path.pop_back();numOfIn--;num--;}//出栈子节点if( num > 0 ){path.push_back("- ");num--;backtrack(i+1);path.pop_back();num++;}}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){while(1){k=0;cin >> n;backtrack(1);}return 0;}