JZOJ1728. Antimonotonicity

题目

Description

给你1-N的一个排列，数列中的数字互不相等，要求找出最长的子序列a,满足a1 > a2,a2 < a3,a3 > a4,a4 < a5……

Input

T 代表T组数据 T<=50
每组数据一行： n 代表给你n个数，然后就是n个数 N<=30000

Output

T行 每行一个数：
对于每组数据输出最长子序列的长度

Sample Input

4

5 1 2 3 4 5

5 5 4 3 2 1

5 5 1 4 2 3

5 2 4 1 3 5

Sample Output

1

2

5

3

分析

虽然是多组数据，其实没有什么影响，就把它当做一组数据就好了。

这里是求最长的上下波动的数列。感觉有点像求最长不下降子序列，看一下有没有什么启发？

• 显然这题应该用DP

因为题目要求的是上下不断改变的序列，所以很容易想到O(N2) 的DP

设fi 表示下一次应该向下的最长序列

那么gi 就应该相反：

设gi 表示上一次应该向下的最长序列

那么转移显然：

fi=∑i−1j=1max(gi)+1

gi=∑i−1j=1max(fi)+1

• 注意fi，gi 所需要满足的条件。

• 现在我们开始优化。

因为它们都要从大于或者小于它的状态转移过来，

所以，可以考虑排序。

如果在排序之后，那么我们只需要求[1..i] 和 [i..N] 这两个区间的fi，gi 的最大值。

这里因为要区间查询，所以应该用线段树。

题解

先将它们拍一次序，记录每个数是原序列的第wi 大数。

根据wi 构建一棵线段树，

按照原序列的顺序来DP

每次利用线段树查询[1..i] 和 [i..N] 这两个区间的fi，gi 的最大值，

更新fi，gi 的值。

然后单点修改，将线段树的wi 的点修改成为现在的fi，gi

枚举的复杂度是O(n)，而查询的时间复杂度是O(logn)
那么总复杂度是O(N∗logn)

Code(C++)

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string.h>#include <cmath>#include <stdlib.h>#include <math.h>using namespace std;struct arr{    int x,num,f;}a[30001];struct arr1{    int mf,mg,l,r;}tr[200000];int T,n,f[30001],g[30001],ans;bool cmp1(arr x,arr y){    return x.x<y.x;}bool cmp2(arr x,arr y){    return x.num<y.num;}int max(int x,int y){    if(x>y)return(x);    return(y);}void make(int x,int l,int r){    tr[x].l=l;    tr[x].r=r;    tr[x].mg=tr[x].mf=0;    if(l==r)return;    int m=(l+r)/2;    make(x+x,l,m);    make(x+x+1,m+1,r);}void change1(int x,int y,int z){    if(tr[x].l==tr[x].r)    {        tr[x].mf=z;        return;    }    if(y<=tr[x+x].r)change1(x+x,y,z);        else change1(x+x+1,y,z);    tr[x].mf=max(tr[x+x].mf,tr[x+x+1].mf); }void change2(int x,int y,int z){    if(tr[x].l==tr[x].r)    {        tr[x].mg=z;        return;    }    if(y<=tr[x+x].r)change2(x+x,y,z);        else change2(x+x+1,y,z);    tr[x].mg=max(tr[x+x].mg,tr[x+x+1].mg);}int find1(int x,int l,int r){    if((tr[x].l==l)&&(tr[x].r==r))return tr[x].mf;    if(r<=tr[x+x].r)return find1(x+x,l,r);        else if(l>=tr[x+x+1].l)return find1(x+x+1,l,r);            else return max(find1(x+x,l,tr[x+x].r),find1(x+x+1,tr[x+x+1].l,r));}int find2(int x,int l,int r){    if((tr[x].l==l)&&(tr[x].r==r))return tr[x].mg;    if(r<=tr[x+x].r)return find2(x+x,l,r);        else if(l>=tr[x+x+1].l)return find2(x+x+1,l,r);            else return max(find2(x+x,l,tr[x+x].r),find2(x+x+1,tr[x+x+1].l,r));}int main(){    scanf("%d",&T);    for(;T;T--)    {        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d",&a[i].x);            a[i].num=i;        }        sort(a+1,a+1+n,cmp1);        for(int i=1;i<=n;i++)            a[i].f=i;        make(1,1,n);         sort(a+1,a+n+1,cmp2);        memset(f,128,sizeof(f));        memset(g,128,sizeof(g));        f[1]=1;        change1(1,a[1].f,1);        ans=1;        for(int i=2;i<=n;i++)        {            f[i]=find2(1,1,a[i].f)+1;            g[i]=find1(1,a[i].f,n)+1;            if(g[i]==1)g[i]=0;            ans=max(ans,f[i]);            ans=max(ans,g[i]);            change1(1,a[i].f,f[i]);            change2(1,a[i].f,g[i]);        }        printf("%d\n",ans);    }}