[SCU 4532] interesting （数论+技巧+SPFA转移DP）

SCU - 4532

a1∗b1+a2∗b2...+an∗bn=B
给定 a1...an，Bmax、Bmin
问有多少个B， Bmin<=B<=Bmax，
使得 b1...bn存在非负整数解

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首先问题可以转化为在区间 [0,Bmax]有多少个 B满足条件
如果能解决这个，原问题的用 [0,Bmax]的答案减去 [0,Bmin−1]的即可

接下来有一个很关键的步骤，也是这题的神来之笔
之所以说神，是因为目前我还没深刻理解这么做的道理 (2016.7.14)
将等式两边 moda1（a序列中的任意一个数）
这样使得[0,Bmax]中的数按 moda1的余数划分成若干个等价类
于是题目就转化为了求每个等价类中最小的那个数
因为知道了最小的数 x，那么这个等价类的大小就可以用 Bmax−xa1+1来计算
然后把每个等价类的答案累加起来即为结果

设 dp[m]=b，即 B%a1=m 这个等价类中，最小的那个数是 b
初始条件 dp[0]=0，在当前数 u的基础上不断增加 ai，去更新 dp[(u+ai)%a1]的状态
转移方程为 for i=2..n:dp[(u+ai)%a1]=min(dp[u]+ai)
由于这个 dp过程可能有环，所以采用 SPFA的方式进行转移

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cctype>#include <map>#include <set>#include <queue>using namespace std;typedef pair<int,int> Pii;typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef double DBL;typedef long double LDBL;#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define CLR(a) MST(a,0)#define Sqr(a) ((a)*(a))const int maxn=20, maxa=5e5+10;const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;int N;LL bmin, bmax;LL A[maxn];LL dp[maxa];bool inq[maxa];LL Get(LL,LL,int);int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt", "r", stdin);//  freopen("out.txt", "w", stdout);    #endif    int T;    scanf("%d", &T);    for(int ck=1; ck<=T; ck++)    {        scanf("%d%lld%lld", &N, &bmin, &bmax);        for(int i=1; i<=N; i++) scanf("%lld\n", &A[i]);        sort(A+1, A+1+N);        if(A[1]==0)        {            puts("0");            continue;        }        MST(dp,0x3f);        CLR(inq);        dp[0]=0;        inq[0]=1;        queue<LL> que;        que.push(0);        while(que.size())        {            LL u=que.front(); que.pop();            for(int i=2; i<=N; i++)            {                LL v = (u+A[i])%A[1];                if(dp[v] > dp[u]+A[i])                {                    dp[v] = dp[u]+A[i];                    if(!inq[v])                    {                        inq[v]=1;                        que.push(v);                    }                }            }            inq[u]=0;        }//      for(int i=0; i<A[1]; i++) printf("%lld ", dp[i]); puts("");        LL ans=0;        for(int i=0; i<A[1]; i++)        {            ans += Get(bmax,dp[i],A[1]) - Get(bmin-1,dp[i],A[1]);        }        cout << ans << '\n';    }    return 0;}LL Get(LL R, LL L, int r){    if(R<L) return 0;    return (R-L)/r+1;}