《编程之法》1.3字符串的全排列，组合，重复排列，八皇后问题

题目描述：输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列，例如输入"abc"，输出"abc","acb","bac","bca","cab","cba"

解法一：递归实现
类似于图的深度遍历搜索求全路径的算法，每次交换两个数，并输出，按照递归的方法，如求abcd的全排序，1:先求abcd后面的bcd全排列(同样先求b后面cd的全排列，然后b与后面的元素依次交换);2:求ab交换后的bacd后面的acd全排列(同样先求a后面cd的全排列，然后a与后面的元素依次交换);3:先ac交换后的cbad后面的bad全排列(同样先求b后面ad的全排列，然后b与后面的元素依次交换);4:求ad交换后的dbca后面的bca全排列(同样先求b后面ca的全排列，然后b与后面的元素依次交换)。
时间复杂度为O(n!)。

#include <iostream>#include <string>using namespace std;void AllPermutation(string &str, int start, int end){if(start == end){cout << str << endl;return;}int i;for(i = start; i <= end; i++){swap(str[start], str[i]);AllPermutation(str, start+1, end);swap(str[start], str[i]);}}int main(){string str;while(cin >> str){if(str.size() == 0)//字符串长度为0直接返回break;AllPermutation(str, 0, str.size()-1);}return 0;}

解法二：按字典序排列
如输出zaf的全排列，先sort排序为afz，然后按字典序依次输出：afz, azf, faz, fza, zaf, zfa。时间复杂度为O(n!)。
求当前字符串的下一个字典序字符串的算法思路：(以967812543为例)
1，找出排列中最后一个连续升序序对的首位位置i；如上面的67,78和12,25都为升序序对，其中25为最后一个升序子序列，故所求i为2所在的下标5。
2，找出排列中i位置之后的最后一个比ai大的位置j；如上面的i=5，ai=2，则i右边比ai大的有5,4,3，选择最后一个比ai大的位置，即j为3所在的下标8。
3，交换i和j所对应的元素，之后将第i+1位到最后的部分翻转，这是因为i是最后一个升序序对首位置，则后面的必定全部是降序排列；如上面先交换2和3，变为967813542，在将下标6开始的剩余子串逆置，变为967813245。

#include <iostream>#include <string>#include <algorithm>using namespace std;void AllPermutation(char *str, int num){int i, j;//输出当前序列for(i = 0; i < num; ++i)cout << str[i];cout << endl;//寻找下一字典序序列//寻找ifor(i = num-2; i >= 0; --i)if(str[i] < str[i+1])break;//递归结束条件：跳出递归，说明此时str中字符串完全降序if(i < 0)       return;//寻找jfor(j = num-1; j >= i+1; --j)if(str[j] > str[i])break;//交换i，j所对应元素，并将下标i后面的字符串逆置swap(str[i], str[j]);reverse(str+i+1, str+num); //和sort函数一样为标准函数模板调用AllPermutation(str, num);}int main(){char str[110];while(cin >> str){int num = 0;while(str[num]) ++num; //注意别写成while(str[num++]);if(num == 0)//字符串长度为0直接返回break;sort(str, str+num);//注意要先排序AllPermutation(str, num);}return 0;}

举一反三：

1，字典序的所有排列：已知输入字符串的各个字符是不同的，按照字典序输出它的所有组合。如输入aa，则输出aa,ab,ba,bb。
解法一：
先分析abc: 输出aaa,aab,aac,aba,abb,abc,aca,acb,acc,baa......，可以分析一下规律
先分配一个数组ans[]存放新字符串，同样运用递归，递归的临界条件是输出字符串中所有字符都相等，且该字符为原字符串最大的那个字符，也先要sort原字符串str[]，很显然第一个ans全由最小的字符组成，如ans[] = {a,a,a...a}。
如何求当前字符串的下一字典序字符串：
先在str[]中设置一个全局升序指针j用于循环向右移动，赋初值指向str[]中第二个字符
a，若ans[]的最后一个元素小于str[n-1](字符串中最大元素)，交换str[j]和ans[num-1]，之后j前移并进入下次递归;如aab变为aac，aba变为abb
b, 若ans[]的最后一个元素等于于str[n-1]，则可调用一个自定义函数，函数的作用是指针i指向ans[]最后一个位置，使i所指元素ans[]变为str[0]，并令指针i前移，若ans[i]仍然等于str[i-1]，令其等于str[0]后，则继续前移至ans[i]<str[i-1]，此时将str[i]赋值成一个稍微比他大的那个字符，并且此时重新令j=0;如acc变为baa。
算法复杂度，由于需要输出n^n个结果，且每次递归都要遍历一次数组，则时间复杂度为O(n^n*n) = O(n^n)。

#include <iostream>#include <string>#include <algorithm>using namespace std;int j;char str[110], ans[110];void Access(int cur, int num){while(ans[cur] == str[num-1]){ans[cur] = str[0];--cur;}int i;for(i = 0; i < num; i++)if(ans[cur] == str[i])break;ans[cur] = str[i+1];j = 0;}void AllPermutation(int num){int i;//先输出当前字符串for(i = 0; i < num; ++i)cout << ans[i];cout << endl;//临界条件int flag = 0;for(i = 0; i < num; ++i)if(ans[i] != str[num-1])flag = 1;if(!flag)return;//交换ans[num-1]，str[j]if(ans[num-1] < str[num-1])ans[num-1] = str[j];elseAccess(num-1, num);++j;if(j == num)j = 0;AllPermutation(num);}int main(){while(cin >> str){int num = 0;while(str[num]) ++num; //注意别写成while(str[num++]);if(num == 0)//字符串长度为0直接返回break;sort(str, str+num);int i;for(i = 0; i < num; ++i)ans[i] = str[0];j = 1;AllPermutation(num);}return 0;}

2，字符的所有组合：如输入“abc”，输出"a","b","c","ab","ac","bc","abc"。

解法一：我们要分开求长度为1的组合，长度为2的组合，...，长度为n的组合。先考虑其中一种情况，如长度为k时的情况，这个时候我们又可以分为两种情况进行考虑：
a, 如果组合里包含第一个字符，则从所有剩余n-1个字符中选取k-1个字符；
b, 如果组合中不包含第一个字符，则从剩余的n-1个字符中选取k个字符。
这可以使用递归方式解决，使用vector来保存已加入当前组合的值，如下，记住Combination这个模式(临界判断-->输出并返回-->加入当前字符并递归-->去掉当前字符并递归)，该模式在求多个数相加等于固定数时也会用到。
有两种返回条件：1，如1,2,3,4,5中当求长度为3的组合时，此时vector只收集了4,5，很显然再递归会造成下标溢出；2，正好某次递归中k==0，数组中可能还有字符也可能正好没有了，此时并直接输出，若正好此时pos=num-1，再次递归也会造成下标溢出，最好是返回。

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;vector<char> result;int num;void Combination(char *str, int pos, int k){if(pos == num && k != 0)//有两种返回条件：临界条件return;if(k == 0){vector<char>::iterator iter = result.begin();for( ; iter < result.end(); ++iter)cout << *iter;cout << endl;return; //此时也需返回，否则str[pos]=str[num]可能未定义}result.push_back(str[pos]);Combination(str, pos+1, k-1); //从字符串下标pos+1起的后面选择剩余的k-1个字符result.pop_back();Combination(str, pos+1, k); //从字符串下标pos+1起的后面选择剩余的k个字符}int main(){char str[110];while(cin >> str){num = 0;while(str[num]) num++;if(num == 0) break;int i;for(i = 1; i <= num; ++i)Combination(str, 0, i);}return 0;}

解法二：以abc为例，若三个字符a,b,c分别对应一个二进制数的第0,1,2位，则可用二进制001代表"a",二进制010代表"b",二进制011代表"ab",二进制100代表"c",...111代表"abc"，换句话说，1~7中的任何一个数字正好对应原字符串的一个组合。
根据数学知识：长度为n的字符串的组合数 = C1/n + C2/n + ... + Cn/n = 2^n - C0/n = 2^n - 1;，故只需对1~2^n-1的数进行遍历，对于该范围的某个k，分析它的二进制位在0~n-1位有哪些为1，则输出str[]中对应的字符；哪些为0，则跳过。

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;void Combination(char *str, int n){int num = (int)pow(2.0, n) - 1;int i, j;for(i = 1; i <= num; ++i){for(j = 0; j < n; j++){if(i & (1 << j)) //注意：&是按位与，&&是逻辑与(整体逻辑判断)cout << str[j];}cout << endl;}}int main(){char str[110];while(cin >> str){int n = strlen(str);Combination(str, n);}return 0;}

相关题目：

1，求正方体对面顶点和相等数组：输入一个含有8个数字的数组分别置于正方体的8个顶点上，使得正方体三组相对的面上的4个顶点和都相等，即：
a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8; a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+a8; a1+a2+a5+a6=a3+a4+a7+a8。
解法：对这8个数全排列，对每个全排列进行条件判断，判断成立则输出，否则什么也不做。

#include <iostream>using namespace std;bool IsEqual(int nums[]){int sum1 = nums[0] + nums[1] + nums[2] + nums[3];    int sum2 = nums[4] + nums[5] + nums[6] + nums[7];    int sum3 = nums[0] + nums[2] + nums[4] + nums[6];    int sum4 = nums[1] + nums[3] + nums[5] + nums[7];    int sum5 = nums[0] + nums[1] + nums[4] + nums[5];    int sum6 = nums[2] + nums[3] + nums[6] + nums[7];    if(sum1 == sum2 && sum3 == sum4 && sum5 == sum6)        return true;    else        return false;}void AllPermutation(int *nums, int start, int end){if(start == end){if(IsEqual(nums)){int i;for(i = 0; i <= end; ++i)cout << nums[i] << " ";cout << endl;}return;}int i;for(i = start; i <= end; i++){swap(nums[start], nums[i]);AllPermutation(nums, start+1, end);swap(nums[start], nums[i]);}}int main(){int nums[110], n;while(cin >> nums[0]){ //输入8个数表示正方体的8个顶点int i;for(i = 1; i <= 7; ++i)cin >> nums[i];AllPermutation(nums, 0, 7);}return 0;}

2，八皇后问题
问题描述： 在8 X 8的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能相互攻击，即任意两个皇后不得处于同一行，同一列或者同一对角线上，求出所有符合条件的摆法。
问题分析： 任意两个皇后不得处于同一行，由此可得每个皇后都单独占据一行。我们可以定义一个数组ColumnIndex[8]，其中ColumnIndex[i]表示处在第i行位置的那个皇后对应在ColumnIndex[i]列，例如ColumnIndex1 = 3 表示处在第1行的皇后在第3列上。 接下来，分别用0~7这8个数字对ColumnIndex进行初始化。注意，此时所有的皇后不同行也不同列。 因此，我们只需要对ColumnIndex数组进行全排列，判断每一个排列所对应的8个皇后的位置是否在对角线上即可。

#include <iostream>#include <string>using namespace std;bool IsNoDiag(int *nums){int i, j;    for(int i = 0; i < 8; i++){        for(int j = i + 1; j < 8; j++){            if(i - j == nums[i] - nums[j] || i - j == nums[j] - nums[i])return false;}}    return true;;}void AllPermutation(int *nums, int start, int end){//临界条件if(start == end){if(IsNoDiag(nums)){int i;for(i = 0; i <= end; ++i)cout << "(" << i << ", " << nums[i] << ")" << " ";cout << endl;}return;}//下次递归int i;for(i = start; i <= end; ++i){swap(nums[start], nums[i]);AllPermutation(nums, start+1, end);swap(nums[start], nums[i]);}}int main(){int nums[8] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};AllPermutation(nums, 0, 7);}