bzoj 1592 [Usaco2008 Feb]Making the Grade 路面修整

Description

FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能同时出现在修好的路中。 整条路被分成了N段，N个整数A1,...,AN (1 <= N <= 2,000)依次描述了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个元素的不上升或不下降序列B1,...,BN，作为修过的路中每个路段的高度。由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为： |A1−B1|+|A2−B2|+...+|AN−BN| 请你计算一下，FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证，这个支出不会超过2^31-1。

Input
* 第1行: 输入1个整数：N * 第2..N+1行: 第i+1行为1个整数：A_i
Output

• 第1行: 输出1个正整数，表示FJ把路修成高度不上升或高度不下降的最小花费

Sample Input
7
1
3
2
4
5
3
9
Sample Output
3
HINT

FJ将第一个高度为3的路段的高度减少为2，将第二个高度为3的路段的高度增加到5，总花费为|2-3|+|5-3| = 3，并且各路段的高度为一个不下降序列 1,2,2,4,5,5,9。

可以发现一个性质：要改的话肯定改成数组里本来就有的数，那么我们先对原数组进行排序，然后再dp
f[i][j]表示前i个数，第i个数改为b数组中的第j个数的最小花费
我们可得朴素dp如下：
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
f[i][j]=1e15;
for(k=1;k<=j;k++)
f[i][j]=min(f[i][j],f[i−1][k]+abs(a[i]−b[j]));
}

这样复杂度接近n3,显然要超时，可以发现f[i][j]的值只跟min(f[i−1][k])有关，我们可以用f[i][j]来表示f[i][1]−f[i][j]的最小值，然后直接拿f[i−1][j]来用。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#define ll long longusing namespace std;ll ans,f[2005][2005];int n;int a[2005],b[2005];bool cmp(int x,int y){    return x>y;}int abs(int x){    if(x<0) return -x;else return x;}int main(){    cin>>n;    for(int i=1;i<=n;i++)     {        scanf("%d",&a[i]);        b[i]=a[i];    }    sort(b+1,b+n+1);    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1e15;    for(int i=1;i<=n;i++)     for(int j=1;j<=n;j++)     {        f[i][j]=1e15;        f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]));        f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i][j]);    }    ans=f[n][n];    sort(b+1,b+n+1,cmp);    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1e15;    for(int i=1;i<=n;i++)     for(int j=1;j<=n;j++)     {        f[i][j]=1e15;        f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]));        f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i][j]);    }    ans=min(ans,f[n][n]);    cout<<ans;    return 0;}