拓扑排序与AOE图关键路径

今天大概讲一下拓扑排序和基于此的AOV网关键路径

拓扑排序：

大概流程：

1. 选择一个入度为0的顶点并输出
2. 然后从AOV网中删除此顶点及以此顶点为起点的所有关联边；
3. 重复上述两步，直到不存在入度为0的顶点为止。
4. 若输出的顶点数小于AOV网中的顶点数，则说明“有回路”，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列

具体实现拟采用栈的先进后出结构，进出依据的是是否有子节点，若没有子节点则入栈，删除所有与其关联的边，即其所有的父亲节点中不再包含此子节点。输出具体看题目要求，结合数组简单操作即可。

注意拓扑排序中不能存在环，不然任何节点都无法入栈。

AOE网与其关键路径：

AOE网我们使用点表示事（活动开始与结束），使用边表示活动，权值表示活动的性质（时间）

注意性质：

有以下性质：

①     只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始。

 

①     只有在进入某点的各有向边所代表的活动都已结束，该顶点所代表的时事件才能发生。

所以，某一活动完成的最短时间等于最长路径（最大权值和）

每一个活动都有其最早完成时间和最晚完成时间，每一个事件都有其最早开始时间和最晚开始时间。

计算

Ve(j)=max{ve(i) + dut(<i,j>)} （Ve(0)=0）

vl(i)=min{vl(j)-dut(<i,j>)}（vl(n)=ve(n)）此处做一个逆拓扑排序，就是从后往前求

对每一项活动ai(1 ≤ i≤ m)求解

最早开始时间e(i)=ve(x)；

最晚开始时间： l(i)=vl(y)-dut<x,y>

关键活动：

若某条弧满足 e(i)=l(i) ，则它是关键活动

当这条边的时间限制到达最大，即其时间一点不能变化，它就被称为关键活动

关键路径：

由关键活动构成

 

①     从源点V1出发，令Ve[1]=0,按拓扑序列求各顶点的Ve[i]

②     从汇点Vn出发，令Vl[n]=Ve[n],按逆拓扑序（可以用数组存储）列求其余各顶点的Vl[i]

③     根据各顶点的Ve和Vl值，计算每条弧的e[i]和l[i],找出e[i]=l[i]的关键活动

具体操作流程：

1-输入顶点和弧信息，建立其邻接表

  计算每个顶点的入度

2-对其进行拓扑排序

2.1-排序过程中求顶点的Ve[i]

2.2-将得到的拓扑序列进栈

3-按逆拓扑序列求顶点的Vl[i]

4-计算每条弧的e[i]和l[i],找出e[i]=l[i]的关键活动