HDU 5724 Chess 从懵逼到学会 SG函数

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引入

经典的NIM博弈

给若干堆石子，Alice和Bob轮流取石子，每次可选择其中的一堆拿走任意多的石子，但不能不拿。最后没有石子可拿的人输。
已知：堆数N，每堆石子数目ai，Alice先取。
求：谁是胜者。

博弈基于足够聪明的两者，每次都尽量取到必胜的状态，绝不存在其中一人明明可以胜出却要让别人赢的情况。因此输赢往往由局面本身确定。即存在必胜态、必败态。

上面这个游戏的必败态，即玩家面对的是没有任何石子的情况。

能够经过一步操作存在必败态的状态，就一定是必胜态。
经过一步操作全是必胜态的状态，一定是必败态。

可以发现
a1⨁a2⨁...⨁an=1为必胜态
a1⨁a2⨁...⨁an=0为必败态

MEX函数

MEX的运算对象为一个集合S，MEX(S)即最小的不属于S的非负整数。如

S MEX(S) ϕ 0 {1,2,3} 0 {0,1,4} 2

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定义

对于一个给定的有向无环图，图上每个点表示一种局面或状态。
定义关于图的每个顶点的SG函数如下

SG(x)=MEX{SG(y)|x→y}

当∃y,SG(y)=0,则SG(x)≠0
当∀y,SG(y)≠0,则SG(x)=0

这个描述和上面的必胜必败态完全一致，可见当SG(x)=0时，x即为一个必败态。

若有若干个平行局面共同组成了一个游戏，则这个父局面的状态由子局面的SG值决定

SG(a1)⨁SG(a2)⨁...⨁SG(an)=0为必败态

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应用

终于到了做题环节！

HDU 5724 Chess

今年的第一把多校，结果三个人都没看这题（过题人数第二多的样子T.T）

题意：n×20的棋盘内放置了一些棋子，每颗棋子走到向右的最近的空格为一次操作，Alice和Bob轮流下棋，无路可走的就输。Alice先手。问Alice会不会输呢？

每行都是独立的，只要计算出每行状态的SG函数值，异或即得到答案。
一行中若有x个棋子，则它可以到达的状态y即有x个，通过SG(x)=MEX{SG(y)|x→y}打表。

通过x找到y的过程，可以用数组模拟，但是又慢又蠢啊。其实交换0和1之后其余位的和没有变，可以节省一半的时间。先找1再找后面最近的0，和先找0再找前面连续的1，时间也差很多啊。不过出题人还是良心的，最慢的重复算也没有超时（险过…）

附上优雅的打表…

for(int i = 1;i < (1<<20); i++){    int h[25];    memset(h, -1, sizeof(h));    int last = -1;    for(int j = 0; j < 20; j++){        if(!((i >> j) & 1))            last = j;        if(((i >> j) & 1)){            if(last != -1){                h[sg[(i ^ (1 << j)) ^ (1 << last)]]=1;            }        }    }    int j=0;    while(h[j] != -1) j++;    sg[i]=j;}