被 9 整除

1. 数论的解释

10≡1(mod9)10n≡1(mod9)10n−1≡0(mod9)

比如判断 111302154 能否被 9 整除：

4+5(101−1+1)+1(102−1+1)+2(103−1+1)+3(105−1+1)+1(106−1+1)+1(107−1+1)+1(108−1+1)≡4+5+1+2+3+1+1+1=18

等价于判断，一个十进制数的各位之和是否能被 9 整除；

2. 群论的解释

所有的自然数，用 9 除余 0 的，叫做 0 类数，余 1 的，叫做 1 类数，一直到 8 类数。

类类之间可以相加：

3 类数 + 5 类数 = 8 类数

至于类之间的乘法，便有：

3*5 = 6
6*6 = 0

所以对于 123，判断其能否被 9 整除：

123=1∗102+2∗10+3⇒1∗1+2∗1+3∗1=6

余数为 6