[2016ACM多校] HDU5728 数论 欧拉函数及其定理

题意

给n,m,p，定义k=sigma(1~m,phi[i*n])，计算k^k^k^……^k。phi是欧拉函数，n无平方因数，最后有无限个k

思路

参考http://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/51966450，其中给了详细的推理过程。贴图附上

这里补充说明一下phi(i*p*n)=p*phi(i*n)这个公式，这里p已经是n的因数，这里是讨论当p也是i的因数的情况，那么i*n中含有至少2个p。假设有r个p，那么由欧拉函数定义phi[i*n]=phi[i*n/p^r](p^r-p^(r-1))=phi[i*n/p^r](p^(r-1)-p(r-2))*p=phi[i/p*n]*p。
最后又无限个k，引入欧拉定理a^phi[n]=1(mod n)，那么也就是说每kphi(k^k^k^…)%p=1。那就可以用循环节递归计算指数的时候不断用欧拉函数减小mod的值直到0，这样就成为有限个了，即a^b%p=a^(b%p)%p.

AC代码 C

#include <stdio.h>#define MAXP 10000005#define MOD 1000000007bool vis[MAXP];     //筛法表int phi[MAXP];      //欧拉函数int sum_phi[MAXP];  //欧拉函数前缀和 int prime[MAXP];    //素数表int sump;           //素数个数void get_phi()      //筛法求欧拉函数 {    //memset(vis, false, sizeof vis);    phi[1] = 1;    int i, j;    for(i=2, sump=0; i<MAXP; i++)    {        if(!vis[i])        {            phi[i] = i - 1;            prime[sump++] = i;        }        for(j=0; j<sump; j++)        {            if(i * prime[j] > MAXP)                break;            vis[i * prime[j]] = true;            if(i % prime[j])                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);            else            {                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];                break;            }        }    }    for(i=sum_phi[0]=0; i<MAXP; i++)        sum_phi[i] = (sum_phi[i-1] + phi[i]) % MOD;}int get_k(int n, int m){    if(m < 1)        return 0;    if(m == 1)        return phi[n];    if(n == 1)        return sum_phi[m];    for(int i=0; i<sump; i++)        if(n % prime[i] == 0)            return ((long long)phi[prime[i]] * get_k(n / prime[i], m) % MOD + get_k(n, m / prime[i])) % MOD;}int quick_pow(int a, int n, int mod){    int res = 1;    do    {        if(n & 1)            res = (long long)res * a % mod;        a = (long long)a * a % mod;    }while(n >>= 1);    return res;}int get_kk(int k, int p){    if(p == 1)        return 0;    return quick_pow(k, get_kk(k, phi[p]) + phi[p], p);}int main(){    get_phi();    int n, m, p;    while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) > 0)        printf("%d\n", get_kk(get_k(n, m), p));    return 0;}