积性函数求前缀和
来源:互联网 发布:网络存储空间哪个好 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 03:30
积性函数定义
若函数f满足
a,b互质有f(a*b)=f(a)*f(b),我们则称f是积性函数。
常见的比如欧拉函数,莫比乌斯函数,都属于积性函数。
积性函数求前缀和
线性筛法,利用积性函数的积性,筛素数同时可以计算积性函数。
然而有些问题要求低于线性的复杂度。
杜教筛
同样利用积性函数的性质。
举常见的莫比乌斯函数为例。
求
线性复杂度显然无法接受。
杜教筛法如何解决呢?
设s(n)=
s(n)=
=1-
接下来一步十分机智,考虑因为
于是有
s(n)=1-
=1-
可以加上分块和记忆化优化, 复杂度为O(
还可以继续优化,先预处理出
如果是求
当然,有些积性函数并没那么好算,但出题人如果不是丧心病狂的话,通常是能用些机智做法做的。
例如f(x)=
设S(x)=
S(x)=
=
=
小结
杜教筛会单独被考吗?这样就水了,通常会和比较复杂的反演搞在一起。但是只要涉及积性函数,我们应有意识的想到杜教筛。
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