博弈论 SG函数从懵逼到入门 SG模板 hdu1848
来源:互联网 发布:ape转换wav软件 mac 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 16:28
摘自piaocoder的博客:
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如
mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继},这里的g(x)即
sg[x]。
例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
sg[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;
x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;
x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;
x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
计算从1-n范围内的SG值。
f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)
f[]需要从小到大排序
1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步,SG(x) = x;3.可选步数为一系列不连续的数,用getSG()计算
模板1如下(SG打表):
//f[]:可以取走的石子个数//sg[]:0~n的SG函数值//hash[]:mex{}int f[N];//可以取走的石子个数int sg[N];//0~n的SG函数值int Hash[N];void getSG(int n){ memset(sg,0,sizeof(sg)); for(int i = 1; i <= n; i++){ memset(Hash,0,sizeof(Hash)); for(int j = 1; f[j] <= i; j++) Hash[sg[i-f[j]]] = 1; for(int j = 0; j <= n; j++){ //求mes{}中未出现的最小的非负整数 if(Hash[j] == 0){ sg[i] = j; break; } } }}模板2如下(dfs):
//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组int s[N],sg[N],n;bool vis[N];int dfs_SG(int x){ if(sg[x] != -1) return sg[x]; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i = 0; i < n; ++i){ if(x >= s[i]){ dfs_SG(x-s[i]); vis[sg[x-s[i]]] = 1; } } for(int i = 0;; ++i){ if(!vis[i]){ e = i; return sg[x] = i; } }}
hdu 1848 Fibonacci again and again
题目链接:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848
解题思路:
题目大意:
取石子问题,一共有3堆石子,每次只能取斐波那契数个石子,先取完石子者胜利,问先手胜还是后手胜?
算法思想:
可选步数为一系列不连续的数(斐波那契数),可用getSG函数求得。
最终结果是所有SG值异或的结果 。
AC代码:
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 1005;int f[N];//可以取走的石子个数int sg[N];//0~n的SG函数值int Hash[N];void getSG(int n){ memset(sg,0,sizeof(sg)); for(int i = 1; i <= n; i++){ memset(Hash,0,sizeof(Hash)); for(int j = 1; f[j] <= i; j++) Hash[sg[i-f[j]]] = 1; for(int j = 0; j <= n; j++){ //求mes{}中未出现的最小的非负整数 if(Hash[j] == 0){ sg[i] = j; break; } } }}int main(){ f[0] = f[1] = 1; for(int i = 2; i <= 16; i++) f[i] = f[i-1]+f[i-2]; getSG(1000); int m,n,p; while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p),m+n+p){ if(sg[m]^sg[n]^sg[p]) puts("Fibo"); else puts("Nacci"); } return 0;}
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