HDU 4081 Qin Shi Huang's National Road System【Prim 求次小生成树】

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4081
此题题解转于他人博客，自己对博客代码稍加自己的Prim风格（注释里为原文代码风格），为了帮助读者理解，稍加代码运行结果图。
转于：http://blog.csdn.net/jarily/article/details/8883858

/* *算法引入： *设G=(V,E,w)是连通的无向图,T是图G的一棵最小生成树; *如果有另一棵树T1,满足不存在树T’,ω(T’)<ω(T1),则称T1是图G的次小生成树; * *算法思想： *邻集的概念:由T进行一次可行交换得到的新的生成树所组成的集合,称为树T的邻集,记为N(T); *设T是图G的最小生成树,如果T1满足ω(T1)=min{ω(T’)|T’∈N(T)},则T1是G的次小生成树; *首先先求该图的最小生成树T,时间复杂度O(Vlog2V+E); *然后,求T的邻集中权值和最小的生成树,即图G 的次小生成树; *如果只是简单的枚举,复杂度很高; *首先枚举两条边的复杂度是O(VE),再判断该交换是否可行的复杂度是O(V),则总的时间复杂度是O(V2E); *分析可知,每加入一条不在树上的边,总能形成一个环,只有删去环上的一条边,才能保证交换后仍然是生成树; *而删去边的权值越大,新得到的生成树的权值和越小,可以以此将复杂度降为O(VE); *更好的方法:首先做一步预处理,求出树上每两个结点之间的路径上的权值最大的边; *然后枚举图中不在树上的边,有了预处理,就可以用O(1)的时间得到形成的环上的权值最大的边; *预处理:因为是一棵树,只要简单的BFS即可,预处理所要的时间复杂度为O(V2); * *算法测试： *HDU4081(Qin Shi Huang's National Road System)(2011 Asia Beijing Regional Contest) * *题目大意： *有n个城市,秦始皇要修用n-1条路把它们连起来,要求从任一点出发,都可以到达其它的任意点,秦始皇希望这所有n-1条路长度之和最短; *然后徐福突然有冒出来,说是他有魔法,可以不用人力、财力就变出其中任意一条路出来; *秦始皇希望徐福能把要修的n-1条路中最长的那条变出来,但是徐福希望能把要求的人力数量最多的那条变出来; *对于每条路所需要的人力,是指这条路连接的两个城市的人数之和; *秦始皇给出了一个公式A/B,A是指要徐福用魔法变出的那条路所需人力, *B是指除了徐福变出来的那条之外的所有n-2条路径长度之和,选使得A/B值最大的那条; * *算法分析： *为了使的A/B值最大,首先是需要是B尽量要小,所以可先求出n个城市的最小生成树; *然后就是决定要选择哪一条边用徐福的魔法来变; *可以枚举每一条边,假设最小生成树的值是Mst,而枚举的那条边长度是G[i][j], *如果这一条边已经是属于最小生成树上的,那么最终式子的值是A/(Mst-G[i][j]); *如果这一条不属于最小生成树上的,那么添加上这条边,就会有n条边,那么就会使得有了一个环; *为了使得它还是一个生成树,就要删掉环上的一条边,为了让生成树的权值尽量小,那么就要删掉除了加入的那条边以外,权值最大的那条路径; *假设删除的那个边的权值是path[i][j],那么就是A/(Mst-path[i][j]); *解这题的关键也在于怎样求出次小生成树,具体实现时,更简单的方法是从每个节点i遍历整个最小生成树; *定义path[i][j]为从i到j的路径上最大边的权值,遍历图求出path[i][j]的值; *然后对于添加每条不在最小生成树中的边(i,j),新的生成树权值之和就是Mst+G[i][j]–path[i][j],其最小值则为次小生成树;**/#include<iostream>#include<string>#include<cstdio>#include<map>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;const int INF=99999999;const int N=1010;struct point{    int x,y;} p[N];double G[N][N],dist[N];double path[N][N];//从i到j的路径上最大边的权值int population[N];//每个城市的人口数int pre[N],visit[N];//标记数组bool used[N][N];//边是否在该MST中int n;inline double Dist(point v1,point v2){    return sqrt(double(v1.x-v2.x)*(v1.x-v2.x)+double(v1.y-v2.y)*(v1.y-v2.y));}double Prim(){    double Mst=0;    memset(visit, 0, sizeof(visit));    memset(used, 0, sizeof(used));    memset(path, 0, sizeof(path));    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        dist[i] = INF;        visit[i] = 0;    }    dist[1] = 0;    pre[1] = 0; //起点的前面一点不存在，记为0；    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        double MIN = INF;        int next;        for(int j = 1; j <= n; j++)        {            if(!visit[j] && dist[j] < MIN)            {                MIN = dist[j];                next = j;            }        }        if(MIN == INF)            break;        if(next != 1)            used[next][pre[next]] = used[pre[next]][next] = 1;        Mst += MIN;        //printf("%.2lf  ",MIN);        visit[next] = 1;        for(int j = 1; j <= n; j++)        {            if(visit[j] && j!=next)                path[next][j] = path[j][next] = max(path[j][pre[next]],dist[next]);//这条路最大两点距离更新            if(!visit[j] && dist[j] > G[next][j])            {                dist[j]=G[next][j];                pre[j]=next;            }        }    }    /*    visit[1]=1;    for(int i=1; i<=n; ++i)    {        dist[i] = G[1][i];        pre[i] = 1;    }    for(int i=1; i<n; ++i)    {        int u=-1;        for(int j=1; j<=n; ++j)        {            if(!visit[j])            {                if(u==-1||dist[j]<dist[u])                    u=j;            }        }        used[u][pre[u]]=used[pre[u]][u] = true;//加入MST        Mst+=G[pre[u]][u];        printf("%.2lf  ",G[pre[u]][u]);        visit[u]=1;        for(int j=1; j<=n; ++j)        {            if(visit[j]&&j!=u)//求从u到j的路径上最大边的权值            {                path[u][j]=path[j][u]=max(path[j][pre[u]], dist[u]);            }            if(!visit[j])            {                if(dist[j]>G[u][j])//更新相邻顶点的dist                {                    dist[j]=G[u][j];                    pre[j]=u;                }            }        }    }    *///    for(int i = 1; i <= n; i++)//        printf("%d  ",pre[i]);    return Mst;}int main(){    int tcase;    scanf("%d",&tcase);    while(tcase--)    {        scanf("%d",&n);        memset(G,0,sizeof(G));        for(int i=1; i<=n; ++i)            scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&population[i]);        for(int i=1; i<=n; ++i)        {            for(int j=1; j<=n; ++j)            {                if(i!=j)                    G[i][j]=Dist(p[i],p[j]);            }        }        double Mst=Prim();        double res=-1;        for(int i=1; i<=n; ++i)        {            for(int j=1; j<=n; ++j)                if(i!=j)                {                    if(used[i][j])                        res=max(res,(population[i]+population[j])/(Mst-G[i][j]));                    else                        res=max(res,(population[i]+population[j])/(Mst-path[i][j]));                }        }        printf("%.2f\n",res);    }    return 0;}

案例一：

案例二：