最小费用最大流详解与模板

最小费用最大流：
在最大流有多组解时，给每条边在附上一个单位费用的量，问在满足最大流时的最小费用是多少？

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思想：
给出一个容量网络，那他的最大流一定是一个定值（即使是有多个一样的最大值）。所以我们从开始的可行流开始增广时，最终的增广量是一定的。所以为了满足最小费用我们只需要每次找最小费用的增广路即可，直到流量为最大值。这个问题仅仅是在求增广路时先考虑费用最小的增广路，其他思想和EK思想一样。
我们学过SPFA求最短路算法（bellman-ford的队列优化），所以我们将弧的费用看做是路径长度，即可转化为求最短路的问题了。只需要所走的最短路满足两个条件即可：1可增广cap> flow,2路径变短d[v]>d[u]+cost< u,v> 。

关于建图的方式和Dinic,ISAP算法一样，如有疑问可以去我们其他相关博客看看

MCMF模板：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<string>#include<sstream>#include<set>#include<vector>#include<stack>#include<map>#include<queue>#include<deque>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<ctime>#include<functional>using namespace std;#define N 1000#define INF 100000000struct Edge{    int from,to,cap,flow,cost;    Edge(int u,int v,int ca,int f,int co):from(u),to(v),cap(ca),flow(f),cost(co){};};struct MCMF{    int n,m,s,t;    vector<Edge> edges;    vector<int> G[N];    int inq[N];//是否在队列中    int d[N];//距离    int p[N];//上一条弧    int a[N];//可改进量    void init(int n)//初始化    {        this->n=n;        for(int i=0;i<n;i++)            G[i].clear();        edges.clear();    }    void addedge(int from,int to,int cap,int cost)//加边    {        edges.push_back(Edge(from,to,cap,0,cost));        edges.push_back(Edge(to,from,0,0,-cost));        int m=edges.size();        G[from].push_back(m-2);        G[to].push_back(m-1);    }    bool SPFA(int s,int t,int &flow,int &cost)//寻找最小费用的增广路，使用引用同时修改原flow,cost    {        for(int i=0;i<n;i++)            d[i]=INF;        memset(inq,0,sizeof(inq));        d[s]=0;inq[s]=1;p[s]=0;a[s]=INF;        queue<int> Q;        Q.push(s);        while(!Q.empty())        {            int u=Q.front();            Q.pop();            inq[u]--;            for(int i=0;i<G[u].size();i++)            {                Edge& e=edges[G[u][i]];                if(e.cap>e.flow && d[e.to]>d[u]+e.cost)//满足可增广且可变短                {                    d[e.to]=d[u]+e.cost;                    p[e.to]=G[u][i];                    a[e.to]=min(a[u],e.cap-e.flow);                    if(!inq[e.to])                    {                        inq[e.to]++;                        Q.push(e.to);                    }                }            }        }        if(d[t]==INF) return false;//汇点不可达则退出        flow+=a[t];        cost+=d[t]*a[t];        int u=t;        while(u!=s)//更新正向边和反向边        {            edges[p[u]].flow+=a[t];            edges[p[u]^1].flow-=a[t];            u=edges[p[u]].from;        }        return true;    }    int MincotMaxflow(int s,int t)    {        int flow=0,cost=0;        while(SPFA(s,t,flow,cost));        return cost;    }};int main(){    MCMF mcmf;    return 0;}