分组背包问题Matlab实现——之基本背包问题

2016年7月27日星期三

T.s.road总结笔记：分组背包问题Matlab实现——之基本背包问题

项目源码：https://github.com/Tsroad/KnapsackProblemSeries

作者说明：

When running thisprogramme, the author’s PCsetting is:

Microsoft Windows 7 (SP1) + Matlab R2010b +CPUi5-4590 + RAM 4.0GB.

 (LabSX309; Check by Keung Charteris or T.s.road CZQ & F.Hong)

题目

有N件物品和一个容量为C的背包。第i件物品的价值是V[i]，重量是W[i]。求解将哪些物品装入背包，使得重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

 

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。其状态转移方程便是：

M(i,v)=max{第i件物品不放入背包, 第i件物品放入背包}

M(i,v)=max{M( i-1 , C) , M( i-1 , C-W(i) ) + V(i)}

用子问题定义状态：即M(i,v)表示前i件物品恰放入一个容量为C的背包可以获得的最大价值。

M(i,v)=max{（不放入物品i）将前i-1件物品放入容量为C的背包中的最大价值,

（放入物品i）将前i-1件物品放入容量为C- W(i)的背包中的最大价值+ V(i)}

 

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为C的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为C的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为C-W(i)的背包中”，此时能获得的最大价值就是M( i-1 , C-W(i) )再加上通过放入第i件物品获得的价值V(i)。

%   问题分析% 1. 判断第一个物品放或不放；% 2. 判断下一个物品是放还是不放；M[i,c]=M[i-1,c] or M[i,c]= M[i-1,c-w(i)]+v(i)；% 3. 重复2；% 4. 找出这些物品。clc;  %清除所有clear all;%清除变量close all;%关闭图片Capacity=10;% 背包的容量Weight= [0,2,2,6,5,4];% 物品的重量，其中0号位置不使用 。Value= [0,6,3,5,4,6];% 物品对应的价钱，0号位置置为空。NumberOfObject =length(Weight);% n为物品的个数TransferMatrix=[];%定义状态转移矩阵ObjectState=[];%背包里物品的状态%1.判断第一个物品放或不放；for FlagTemp=1:11        if Weight(NumberOfObject)<FlagTemp                TransferMatrix(NumberOfObject,FlagTemp)=Value(NumberOfObject) ;        else                TransferMatrix(NumberOfObject,FlagTemp)=0;        endend%2.判断下一个物品是放还是不放；不放时：F[i,v]=F[i-1,v]；放时：F[i,v]=max{F[i-1,v],F[i-1,v-C_i]+w_i}；%3.重复2.for FlagTempExternal=NumberOfObject-1:-1:1        for FlagTemp=1:11                if FlagTemp<=Weight(FlagTempExternal)                        TransferMatrix(FlagTempExternal,FlagTemp)=TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp);                else                        if TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp)>TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp-Weight(FlagTempExternal))+Value(FlagTempExternal)                                TransferMatrix(FlagTempExternal,FlagTemp)=TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp);                        else                                TransferMatrix(FlagTempExternal,FlagTemp)=TransferMatrix(FlagTempExternal+1,FlagTemp-Weight(FlagTempExternal))+Value(FlagTempExternal);                        end                end        endendTransferMatrix%4.找出这些物品。FlagTempExternal=Capacity;for FlagTemp=1:NumberOfObject-1        if TransferMatrix(FlagTemp,FlagTempExternal)==TransferMatrix(FlagTemp+1,FlagTempExternal)                ObjectState(FlagTemp)=0;        else                ObjectState(FlagTemp)=1;                FlagTempExternal=FlagTempExternal-Weight(FlagTemp);        endendif TransferMatrix(NumberOfObject,FlagTempExternal)==0        ObjectState(NumberOfObject)=0;else        ObjectState(NumberOfObject)=1;        endObjectState

运行结果：