最长公共子串

找 两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。其实这又是一个序贯决策问题，可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结 果。这个二维矩阵怎么构造呢？直接举个例子吧："bab"和"caba"(当然我们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"ba"或"ab")

　　 b　　a　　b

c　　0　　0　　0

a　　0　　1　　0

b　　1　　0　　1

a　　0　　1　　0

我们看矩阵的斜对角线最长的那个就能找出最长公共子串。

不过在二维矩阵上找最长的由1组成的斜对角线也是件麻烦费时的事，下面改进：当要在矩阵是填1时让它等于其左上角元素加1。

　　 b　　a　　b

c　　0　　0　　0

a　　0　　1　　0

b　　1　　0　　2

a　　0　　2　　0

这样矩阵中的最大元素就是 最长公共子串的长度。

将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x 1 x 2 ⋯x i  x1x2⋯xi与y 1 y 2 ⋯y j  y1y2⋯yj的结尾——的长度。

得到转移方程：

        /    0                         if i<0 or j<0

c[i,j]=        c[i-1,j-1]+1                 if i,j>=0 and xi=xj

        \    0         if i,j>=0 and xi≠xj

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n} max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。

public static int lcs(String str1, String str2) {    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int result = 0;     //记录最长公共子串长度    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];    for (int i = 0; i <= len1; i++) {        for( int j = 0; j <= len2; j++) {            if(i == 0 || j == 0) {                c[i][j] = 0;            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                result = max(c[i][j], result);            } else {                c[i][j] = 0;            }        }    }    return result;}