二叉树以及 二叉树的C++实现

二叉树是一种树型结构，特点是每个节点之多有两个子树（即而产生和中不存在度大于2的节点），并且，二叉树的子树有左右之分（左边的称“左子树” ， 右边的称 “右子树 ”） ，其次序不能任意颠倒。

二叉树常用于二叉查找树和二叉堆。

下面给出二叉树的基本形态：

几种特殊的二叉树

1. 斜树

所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。斜树的每一层都只有一个结点，结点的个数与斜树的深度相同。

2. 满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。（上图中所示的二叉树，就是一棵满二叉树）

3. 完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中的编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

二叉树的性质

性质1   在二叉树的第i层上，至多有 2^i-1 个节点（根节点的层数为1 ）

性质2   深度为k的二叉树至多有  2^k-1个节点（k >=1）

性质3   一棵二叉树的叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀ = n₂ + 1

性质4    具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n) + 1 

性质5    如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为floor(log2n) + 1 ）的结点按层序编号，则对任一结点i（1≤i≤n）有：
（1） 如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则其双亲PARENT(i)是结点 floor((i)/2)
（2）如果2i > n，则结点i无左孩子；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i
（3）如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i + 1

二叉树的存储

 1、顺序存储结构

     二叉树可以用数组或线性表来存储，而且如果是完全二叉树，那么这种方法不会浪费空间

#define LENGTH 100typedef char datatype;typedef struct node{    datatype data;    int lchild,rchild;    int parent;}Node;Node tree[LENGTH];int length;int root;

并且这种紧凑排列，如果一个结点的索引为i，则它的子结点能在索引2i+1和2i+2找到，并且它的父节点（如果有）能在索引floor((i-1)/2)找到（假设根节点的索引为0）。

对于一般的二叉树，其层序编号不能反映出逻辑关系，但是可以将其按照完全二叉树编号，只不过把不存在的结点设置为NULL即可。但这么做有一个问题，就是会浪费存储空间。最坏情况下，一个深度为k的斜树（只有k个结点），却需要长度为2k-1的一维数组。所以顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

2、链式存储结构

每个结点含有一个数据域和两个指针域（分别指向左右子树）。

二叉树的节点表示

struct BinaryTreeNode{char _data;struct BinaryTreeNode*  pLeft;        struct BinaryTreeNode* pRight;};

利用这种结点结构所得的二叉树存储结构称之为二叉链表。在二叉链表中，如果想找到某个结点的双亲，需要从根节点开始遍历，所以有时为了便于找到结点的双亲，还可以在结点结构中增加一个指向其双亲结点的指针域，相应的二叉树存储结构称之为三叉链表。

二叉树基本实现

//二叉树 节点结构template<class T>struct BinaryTreeNode{typedef BinaryTreeNode<T>*  Treepoint ;BinaryTreeNode(const T& data):_data(data), pLeft(NULL), pRight(NULL){}T _data;Treepoint pLeft;Treepoint pRight;};//二叉树的基本操作template<class T>class BinaryTree{public:BinaryTree():_pRoot(NULL){}BinaryTree(T arr[], size_t sz){size_t index = 0;_CreatNode(_pRoot, arr, sz, index);}BinaryTree(const BinaryTree<T>& t)//拷贝构造{_pRoot = _CopyTree(t._pRoot);}BinaryTreeNode<T>& operator=(const BinaryTree<T>& t) //赋值运算符重载{if (this != &t){_Destroy(this->_pRoot);this->_pRoot = _CopyTree(t._pRoot);}return *this;}~BinaryTree() //析构函数{if (this != NULL){_Destroy(this->_pRoot);}}private:BinaryTreeNode<T>* _pRoot;protected:void _CreatNode(BinaryTreeNode<T>*& Root, T arr[], size_t sz, size_t& index)//创建{                              //传的是引用                        //引用if (index < sz && arr[index] != '?'){//前序遍历 ：创建过程  根-左-右Root = new BinaryTreeNode<T>(arr[index]);_CreatNode(Root->pLeft, arr, sz, ++index);_CreatNode(Root->pRight, arr, sz, ++index);}}BinaryTreeNode<T>* _CopyTree(const BinaryTreeNode<T>* Root) //拷贝{BinaryTreeNode<T>* NewRoot = NULL;if (Root != NULL){NewRoot = new BinaryTreeNode<T>(Root->_data);NewRoot->pLeft = _CopyTree(Root->pLeft);NewRoot->pRight = _CopyTree(Root->pRight);}return NewRoot;}void _Destroy(BinaryTreeNode<T>*& Root) //删除顺序 左-右-根{if (Root != NULL){_Destroy(Root->pLeft);_Destroy(Root->pRight);//_Destroy(Root);delete Root;Root = NULL;}}};