POJ 2891 Strange Way to Express Integers(CRT非互质)

题目点我点我点我

题目大意：给出k个模方程组：x mod ai = ri。求x的最小正值。如果不存在这样的x，那么输出-1.

解题思路：a[i]与a[j]不一定互质，不能直接用CRT求解。

运用合并的思想：
X mod r1=a1
X mod r2=a2
...
...
...
X mod rn=an
即可得同余方程x = r[i] (mod a[i])
易知 x = k1 * a1 + r1,x = k2 * a2 + r2。即k1 * a1 + r1=k2 * a2 + r2。
化简可得：k1 * a1= (r2 – r1) + k2 * a2 —— （1）
因为k2 * a2 % a2 = 0,所以k1 * a1 = (r2 – r1) (mod a2) ——（2）。

根据（1）可以变成
k1 * a1 - k2 * a2= (r2 – r1) ，即AX+BY=C方程组的形式，
要想方程组有解则C必须是gcd（A,B）的整数倍，
故k1 * a1 - k2 * a2= (r2 – r1) 有解的条件就是(r2 – r1)/gcd（a1，a2）= 0，否则无解，即输出-1.

设d=gcd（a1，a2），那么（2）可以化为
k1* a1/d = (r2 – r1) /d (mod a2/d)
再变形k1 = c/d * (a1/d)^(-1) (mod a2 / d)，
其中，(a1/d)^(-1)表示（a1/d）对于(a2/d)的乘法逆元。
(a1/d)^(-1)可以通过扩展欧几里德求得。

令K=c/d * (a1/d)^(-1) ，则k1=K （mod a2/d），即k1 = y * a2/d + K，代入 x = k1 * a1 + r1 可得x = (a1 * K + r1) (mod a1 * a2 / d)，此时a1*a2/d其实就是a1、a2的最小公倍数，
即LCM（a1，a2），
令r=(a1 * K + r1)，即x=r（mod LCM（a1，a2）），合并完成！

/* ***********************************************┆  ┏┓　　　┏┓ ┆┆┏┛┻━━━┛┻┓ ┆┆┃　　　　　　　┃ ┆┆┃　　　━　　　┃ ┆┆┃　┳┛　┗┳　┃ ┆┆┃　　　　　　　┃ ┆┆┃　　　┻　　　┃ ┆┆┗━┓　马　┏━┛ ┆┆　　┃　勒　┃　　┆　　　　　　┆　　┃　戈　┗━━━┓ ┆┆　　┃　壁　　　　　┣┓┆┆　　┃　的草泥马　　┏┛┆┆　　┗┓┓┏━┳┓┏┛ ┆┆　　　┃┫┫　┃┫┫ ┆┆　　　┗┻┛　┗┻┛ ┆************************************************ */#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>#include <stack>#include <set>#include <map>#include <string>#include <math.h>#include <stdlib.h>using namespace std;#define rep(i,a,b) for (int i=(a),_ed=(b);i<=_ed;i++)#define per(i,a,b) for (int i=(b),_ed=(a);i>=_ed;i--)#define pb push_back#define mp make_pairconst int inf_int = 2e9;const long long inf_ll = 2e18;#define inf_add 0x3f3f3f3f#define mod 1000000007#define LL long long#define ULL unsigned long long#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))#define SelfType intSelfType Gcd(SelfType p,SelfType q){return q==0?p:Gcd(q,p%q);}SelfType Pow(SelfType p,SelfType q){SelfType ans=1;while(q){if(q&1)ans=ans*p;p=p*p;q>>=1;}return ans;}#define Sd(X) int (X); scanf("%d", &X)#define Sdd(X, Y) int X, Y; scanf("%d%d", &X, &Y)#define Sddd(X, Y, Z) int X, Y, Z; scanf("%d%d%d", &X, &Y, &Z)int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")LL extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if(b==0)    {        x = 1, y = 0;        return a;    }    LL p = extend_gcd(b,a%b,x,y);    LL temp = x;    x = y;    y = temp - (a / b) * y;    return p;}LL CRT(int n){    LL a1,a2,r1,r2,d,x,y,t;    int flag = 1;    a1 = read(), r1 = read();    for(int i=2;i<=n;i++)    {        a2 = read(), r2 = read();        d = extend_gcd(a1,a2,x,y);        if((r2-r1)%d)flag = -1;        t = a2 / d;        x = ( (x * (r2-r1)/d)%t+t ) % t;  //x为a2/d的逆元        r1 = x * a1 + r1;        a1 = a1/d*a2;                     //a1为a1、a2的最小公倍数        r1 = (r1 % a1 + a1) % a1;    }    if(flag==-1)return -1;    return r1;}int main(){//freopen("in.txt","r",stdin);//freopen("out.txt","w",stdout);ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);int n;while(~scanf("%d",&n))    {        printf("%I64d\n",CRT(n));    }return 0;}