用进制思想解决组合问题



先对我们要解决的问题进行一个描述：

如上图所示，原来有个字符串”123”,现在有个对应关系，可以把1换成”A”，”a”，”甲”，可以把2换成”B”，”b”，可以把3换成”C”，那么，有多少种组合字符串的方式呢（注意顺序不变），我们可以计算得到4*3*2 = 24种组合方式（包括原字符串”123”在内）。我们用0~23这24个数字来给所有组合的字符串编号，如何根据0~23这24个数字，再反过来推出每个数字是对应的哪个字符串呢？下面，详细说一下方法。

根据上面的描述，我们有以下一直条件：

1.1对应的替换字符是”A”, “a”, “甲”

2.字符串”123”的顺序不能改变，也就说，只能替换出来”A2C”这样的字符串，不能替换出来”2AC”这样的字符串。

3.对于第一位的字符，”1”, “A”, “a”,”甲”的顺序也是固定的，比如第一位的index为0的字符是”1”,index为1的字符代表”A”, index为2的代表”a”, index为3的代表字符”甲”。

 

详细思路如下：

对于上面这例子，我们可以看成一个三位数，百位是1，十位为2，个位为3，这三位的进制是不一样的，例如，十位的进制是2，百位的进制是6，为什么呢，因为对于十位来说，当个位变化两次之后，十位就会变化一次。举个具体的例子

对于字符串”123”的编号就是0，因为对应的三位数是000，对于字符串”12C”,对应的三位数是001,所以，字符串”12C”的编号是1，字符串”1B3”来说，对应的三位数是010（不要整个看成二进制，虽然这个时候看成二进制也是2）,因为个位数只有两个变化（”3”和”C”），所以，010可以看成是001进位之后的结果，这个时候表示的就是2，”011”表示字符串”1BC”,根据十位是二进制，所以这个数表示3，下面，出现规律的情况出现了，”0b0”,这个字符串对应的三位数是多少呢？是”020”,因为十位是2进制，所以020就是2*2为4，“021”对应的是2*2 + 1 =5，下面我们看看百位的进制是多少，我们知道，到021为止，已经吧十位和个位的所有组合列举出来了，编号是0~5，总共六个数，所以，百位的进制就是6进制，如下

“100”à对应字符串”A23”,编号是6

“101”à对应的字符串是”A2C”,编号是7

“110”à对应的字符串是”AB3”,编号是8

“111”à对应的字符串是”ABC”,编号是9

“120”à对应字符串是”Ab3”,编号是10

“121”à对应字符串是”AbC”,编号是11

“200”à对应字符串是”a00”,编号是12

……

“321”à对应的字符串是”甲bC”，编号是：3*6 +2*2 + 1*1 = 23

 

 

是不是已经看出来规律了，就是三位数，对应的三个进制，百位乘以6加上十位乘以2加上个位乘以1的出来的十进制数字就是这个字符串的编号，那么百位数，十位数，个位数的怎么填充呢，就是用每位的index来填充。

反过来，如何根据编号，得到对应的字符串，

比如我们需要取出编号为19的字符串，那么，我们来看看，怎么找

我们知道，百位数有四个替换字符，index是0~3，百位的进制是6进制，6进制的整数是0（0乘以6）,6（1乘以6）,12（2乘以6）,18（3乘以6），24（4乘以6，不过这个case我们没有百位数是4的结果，）我们先设置百位数，再设置十位数，最后设置个位数，因为19是大于18的，小于24，所以，百位数是3,19-18还剩下1，显然十位数应该设置为0，因为十位数是要乘以2的，因此个位数设置为1，拼出来的三位数就是301，取出对应的字符串就是”甲2C”这个字符串了。

 

以上就是利用不同为的进制不同，我们用连续的整数编号，来表示每一个组合的结果的方法，具体的代码，以后有时间不上。