中国剩余定理：从构造特解到找出通解

曾以为中国剩余定理不在我所能理解的范围之内，起码，不在我能证明的范围之内——因为描述它的这堆符号的缘故。如果你也觉得这个定理的描述用到了许多高端的符号，请阅读本文。

听说别的学校的同学已经能用中国剩余定理A题了。放在以前，我可以想，毕竟，他们比我高一个年级。今天，我正想这样想，发现自己已经是高二选手啦！恰逢今天下午去数学竞赛那里蹭了半节课，虽然老师讲得有些无聊，提前一小时回家了，但我觉得今天是个适合搞数学的日子。计划中该写作业来着……

问题

解线性方程组，其中m1,m2,…,mn两两互质。

x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋯x≡an(modmn)

构造一个特解

设x=12a+34b，则x≡12a(mod34)，x≡34b(mod12)。这个事实启发我们把解写成和的形式

x=k1a1+k2a2+⋯+knan

系数ki就好比开关，帮助我们在必要的时候屏蔽掉某些项。

为了在模m1的时候得到a1，k2,k3,…,kn必须含m1这个因子；为了在模m2的时候得到a1，k1,k3,…,kn必须含m2这个因子。把所有这些要求综合起来，我们有

Mmi|kiM=m1m2⋯mn

现在，x≡kiai(modmi)。于是，对ki，我们提出一个新的要求：ki≡1(modmi)。由于ki已经是Mmi的倍数了，所以，令ki=Mmi(Mmi)−1,Mmi(Mai)−1≡1(modmi)即可达成目标。

m两两互质，保证了这个逆元的存在性。

好啦，构造成功。形式化地写下来：

M=∏i=1nmiMi=MmiMiM−1i≡1(modmi)x=∑i=1nMiM−1iai

找到一组通解

显然，x+kM都是这个方程组的解。让我们来推导这个事实，表明该形式的必要性。

设x1，x2是方程组的两个解，代入每个方程，得x1≡x2(modmi)，即(x2−x1)是mi的整数倍，进而有(x2−x1)是所有m的公倍数的整数倍。不妨设x2>x1，则该整数倍最小为1。令公倍数为最小公倍数，由于m两两互质，它们的最小公倍数等于M。这样，我们最小化了(x2−x1)，它等于M。所以，原方程组的通解为

x≡∑i=1nMiM−1iai(modM)

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先写到这里。做到有关的题再补充定理的应用。